Номер 29.23, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.23, страница 240.

Условие.

29.23. В десятичной записи числа $28^{101}$ подсчитали сумму цифр. В полученном числе снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили однозначное число. Чему равно это число?

Решение.

Процесс последовательного нахождения суммы цифр числа до тех пор, пока не получится однозначное число, называется нахождением цифрового корня числа.

Ключевым свойством этого процесса является то, что любое натуральное число $N$ и сумма его цифр $S(N)$ имеют одинаковые остатки при делении на 9. Математически это записывается как сравнение по модулю 9:

$N \equiv S(N) \pmod{9}$

Это свойство сохраняется при каждом шаге вычисления суммы цифр. Таким образом, итоговое однозначное число (цифровой корень) будет равно остатку от деления исходного числа на 9. Если остаток равен 0, то цифровой корень равен 9 (поскольку сумма цифр положительного числа не может быть нулем).

Следовательно, задача сводится к вычислению $28^{101} \pmod{9}$.

Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 28, на 9:

$28 = 3 \cdot 9 + 1$

Значит, 28 дает остаток 1 при делении на 9, или:

$28 \equiv 1 \pmod{9}$

Теперь, используя свойства сравнений, возведем обе части в степень 101:

$28^{101} \equiv 1^{101} \pmod{9}$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, получаем:

$28^{101} \equiv 1 \pmod{9}$

Остаток от деления числа $28^{101}$ на 9 равен 1. Это означает, что искомое однозначное число, полученное в результате многократного суммирования цифр, также равно 1.

Ответ: 1