Номер 29.11, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - номер 29.11, страница 239.

Условие.

29.11. Вместо звездочек подставьте такие цифры, чтобы число $\text{*}74\text{*}$ делилось нацело на 18. Найдите все возможные решения.

Решение.

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9, поскольку $18 = 2 \times 9$, а числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

Представим искомое число в виде $\overline{a74b}$, где $a$ и $b$ — неизвестные цифры. Так как это четырехзначное число, первая цифра $a$ не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ может быть любой цифрой ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

1. Признак делимости на 2. Число должно быть чётным, следовательно, его последняя цифра $b$ должна быть чётной. Таким образом, $b$ может быть одной из цифр: $0, 2, 4, 6, 8$.

2. Признак делимости на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр нашего числа равна $S = a + 7 + 4 + b = a + b + 11$.

Теперь переберем все возможные значения для $b$ и найдем соответствующие значения для $a$.

• Если $b = 0$, то сумма цифр $S = a + 0 + 11 = a + 11$. Так как $1 \le a \le 9$, то $12 \le S \le 20$. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18. $a + 11 = 18 \Rightarrow a = 7$. Получаем число 7740.
• Если $b = 2$, то сумма цифр $S = a + 2 + 11 = a + 13$. Так как $1 \le a \le 9$, то $14 \le S \le 22$. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18. $a + 13 = 18 \Rightarrow a = 5$. Получаем число 5742.
• Если $b = 4$, то сумма цифр $S = a + 4 + 11 = a + 15$. Так как $1 \le a \le 9$, то $16 \le S \le 24$. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18. $a + 15 = 18 \Rightarrow a = 3$. Получаем число 3744.
• Если $b = 6$, то сумма цифр $S = a + 6 + 11 = a + 17$. Так как $1 \le a \le 9$, то $18 \le S \le 26$. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 18. $a + 17 = 18 \Rightarrow a = 1$. Получаем число 1746.
• Если $b = 8$, то сумма цифр $S = a + 8 + 11 = a + 19$. Так как $1 \le a \le 9$, то $20 \le S \le 28$. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 9, — это 27. $a + 19 = 27 \Rightarrow a = 8$. Получаем число 8748.

Мы нашли все возможные решения.

Ответ: 1746, 3744, 5742, 7740, 8748.