Номер 28.24, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.24, страница 235.

Условие.

28.24. При каких значениях $a$ и $b$ график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки $A(1; 3)$ и $B(2; -4)$?

Решение.

Поскольку график уравнения $ax + by = 8$ проходит через точки A(1; 3) и B(2; -4), то координаты этих точек должны удовлетворять данному уравнению. Это позволяет нам составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки A(1; 3) в уравнение. В этом случае $x = 1$ и $y = 3$:
$a \cdot 1 + b \cdot 3 = 8$
$a + 3b = 8$

2. Подставим координаты точки B(2; -4) в уравнение. В этом случае $x = 2$ и $y = -4$:
$a \cdot 2 + b \cdot (-4) = 8$
$2a - 4b = 8$

Получили систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ 2a - 4b = 8 \end{cases} $

Для упрощения решения разделим второе уравнение на 2:
$a - 2b = 4$

Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} a + 3b = 8 \\ a - 2b = 4 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:
$(a + 3b) - (a - 2b) = 8 - 4$
$a + 3b - a + 2b = 4$
$5b = 4$
$b = \frac{4}{5}$

Теперь, зная значение $b$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $a$. Используем уравнение $a - 2b = 4$:
$a - 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = 4$
$a - \frac{8}{5} = 4$
$a = 4 + \frac{8}{5}$
$a = \frac{20}{5} + \frac{8}{5}$
$a = \frac{28}{5}$

Таким образом, мы нашли искомые значения $a$ и $b$.

Ответ: $a = \frac{28}{5}$ (или 5,6), $b = \frac{4}{5}$ (или 0,8).