Номер 28.18, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.18, страница 234.

Условие.

28.18. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел

в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Решение.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(a, b)$, а наименьшее общее кратное как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 16 раз больше наибольшего общего делителя: $m = 16d$.

Воспользуемся основным свойством НОД и НОК, которое связывает их с самими числами: произведение двух натуральных чисел равно произведению их НОД и НОК. $a \cdot b = d \cdot m$.

Подставим в это равенство условие $m = 16d$: $a \cdot b = d \cdot (16d)$, что приводит к равенству $a \cdot b = 16d^2$.

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их наибольший общий делитель $d$ следующим образом: $a = d \cdot x$ и $b = d \cdot y$, где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(x, y) = 1$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение $a \cdot b = 16d^2$: $(d \cdot x) \cdot (d \cdot y) = 16d^2$, $d^2 \cdot x \cdot y = 16d^2$.

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, их НОД $d$ также является натуральным числом, а значит $d^2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $d^2$: $x \cdot y = 16$.

Нам осталось найти все пары взаимно простых натуральных чисел $x$ и $y$, произведение которых равно 16. Рассмотрим все возможные пары множителей числа 16:
1) $x=1, y=16$. В этом случае $\text{НОД}(1, 16) = 1$. Числа взаимно простые, пара подходит.
2) $x=2, y=8$. В этом случае $\text{НОД}(2, 8) = 2$. Числа не являются взаимно простыми, пара не подходит.
3) $x=4, y=4$. В этом случае $\text{НОД}(4, 4) = 4$. Числа не являются взаимно простыми, пара не подходит.

Таким образом, единственными возможными парами для $(x, y)$ (с учётом их перестановки) являются $(1, 16)$ и $(16, 1)$.

Рассмотрим оба случая:
- Если $x=1$ и $y=16$, то $a = d \cdot 1 = d$ и $b = d \cdot 16 = 16d$. Отсюда следует, что $b = 16a$, то есть число $b$ кратно числу $a$.
- Если $x=16$ и $y=1$, то $a = d \cdot 16 = 16d$ и $b = d \cdot 1 = d$. Отсюда следует, что $a = 16b$, то есть число $a$ кратно числу $b$.

В любом возможном случае одно из чисел оказывается кратным другому. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что одно из этих чисел кратно другому.