Номер 28.13, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.13, страница 234.

Условие.

28.13. Существуют ли такие целые числа $a, b, c$, что:

1) $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001$;

2) $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004$?

Решение.

1)

Рассмотрим данное уравнение: $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001$.

Перегруппируем слагаемые в левой части уравнения, чтобы получить сумму выражений вида $n^2+n$:

$(a^2 + a) + (b^2 + b) + (c^2 + c) = 1001$

Вынесем общий множитель в каждой скобке:

$a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) = 1001$

Для любого целого числа $n$ выражение $n(n + 1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение всегда является чётным числом.

Таким образом, каждое из слагаемых в левой части уравнения — $a(a + 1)$, $b(b + 1)$ и $c(c + 1)$ — является чётным числом. Сумма трёх чётных чисел также всегда является чётным числом. Следовательно, вся левая часть уравнения — это чётное число.

Однако правая часть уравнения равна 1001, что является нечётным числом.

Мы получили противоречие, так как чётное число не может равняться нечётному. Это означает, что не существует таких целых чисел $a, b, c$, которые бы удовлетворяли исходному уравнению.

Ответ: не существуют.

2)

Рассмотрим данное уравнение: $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004$.

Перегруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(a^3 - a) + (b^3 - b) + (c^3 - c) = 1004$

Разложим на множители выражение в каждой скобке:

$a(a^2 - 1) + b(b^2 - 1) + c(c^2 - 1) = 1004$

$(a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (c - 1)c(c + 1) = 1004$

Для любого целого числа $n$ выражение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных целых чисел:

• есть как минимум одно число, делящееся на 2 (чётное);
• есть ровно одно число, делящееся на 3.

Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Следовательно, каждое из слагаемых в левой части уравнения — $(a - 1)a(a + 1)$, $(b - 1)b(b + 1)$ и $(c - 1)c(c + 1)$ — делится на 6.

Сумма трёх чисел, каждое из которых делится на 6, также должна делиться на 6. Значит, левая часть уравнения всегда делится на 6.

Теперь проверим правую часть уравнения — число 1004. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3 одновременно.

• $1004$ является чётным, так как оканчивается на 4, следовательно, оно делится на 2.
• Сумма цифр числа 1004 равна $1 + 0 + 0 + 4 = 5$. Поскольку 5 не делится на 3, число 1004 не делится на 3.

Так как 1004 не делится на 3, оно не делится и на 6.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения делится на 6, а правая — нет. Равенство невозможно. Следовательно, не существует таких целых чисел $a, b, c$, которые бы удовлетворяли исходному уравнению.

Ответ: не существуют.