Номер 28.19, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.19, страница 234.

Условие.

28.19. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Решение.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Обозначим их наибольший общий делитель (НОД) как $d = \text{НОД}(a, b)$, а наименьшее общее кратное (НОК) как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 27 раз больше наибольшего общего делителя, что можно записать в виде уравнения: $m = 27 \cdot d$

Известно, что для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее свойство: произведение чисел равно произведению их НОК и НОД. $a \cdot b = m \cdot d$

Подставим в это равенство выражение для $m$ из условия задачи: $a \cdot b = (27 \cdot d) \cdot d = 27d^2$

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их наибольший общий делитель $d$ следующим образом: $a = d \cdot a'$ $b = d \cdot b'$ где $a'$ и $b'$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(a', b') = 1$.

Подставим эти выражения для $a$ и $b$ в полученное ранее уравнение $a \cdot b = 27d^2$: $(d \cdot a') \cdot (d \cdot b') = 27d^2$ $d^2 \cdot a' \cdot b' = 27d^2$

Поскольку $d$ — это наибольший общий делитель натуральных чисел, $d \ge 1$, значит, мы можем разделить обе части уравнения на $d^2$: $a' \cdot b' = 27$

Мы получили, что произведение двух взаимно простых натуральных чисел $a'$ и $b'$ равно 27. Разложим число 27 на множители: $27 = 3^3$. Пары натуральных чисел, произведение которых равно 27, это (1, 27), (3, 9), (9, 3) и (27, 1).

Теперь проверим, какие из этих пар являются взаимно простыми:

• $\text{НОД}(1, 27) = 1$. Эта пара взаимно простая.
• $\text{НОД}(3, 9) = 3$. Эта пара не является взаимно простой.

Таким образом, для пары взаимно простых чисел $(a', b')$ возможны только два случая: $(1, 27)$ или $(27, 1)$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $a' = 1$ и $b' = 27$, то исходные числа $a$ и $b$ равны:
   $a = d \cdot a' = d \cdot 1 = d$
   $b = d \cdot b' = d \cdot 27 = 27d$
   В этом случае $b = 27a$, то есть число $b$ кратно числу $a$.
2. Если $a' = 27$ и $b' = 1$, то исходные числа $a$ и $b$ равны:
   $a = d \cdot a' = d \cdot 27 = 27d$
   $b = d \cdot b' = d \cdot 1 = d$
   В этом случае $a = 27b$, то есть число $a$ кратно числу $b$.

В обоих возможных случаях одно из чисел кратно другому, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если наименьшее общее кратное двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя, то одно из этих чисел кратно другому.