Номер 28.22, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.22, страница 235.

Условие.

28.22. Найдите все пары натуральных чисел m и n таких, что

$\text{НОК} (m; n) - \text{НОД} (m; n) = \frac{mn}{3}$

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся основными свойствами Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) для натуральных чисел $m$ и $n$.

Обозначим $d = \text{НОД}(m; n)$. Тогда числа $m$ и $n$ можно представить в виде $m = da$ и $n = db$, где $a$ и $b$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(a; b) = 1$.

Используя эти обозначения, выразим НОК(m; n):

$\text{НОК}(m; n) = \text{НОК}(da; db) = d \cdot \text{НОК}(a; b)$.

Поскольку $a$ и $b$ взаимно просты, их НОК равен их произведению: $\text{НОК}(a; b) = ab$.

Следовательно, $\text{НОК}(m; n) = dab$.

Теперь подставим выражения для НОД и НОК в исходное уравнение:

$\text{НОК}(m; n) - \text{НОД}(m; n) = \frac{mn}{3}$

$dab - d = \frac{(da)(db)}{3}$

Вынесем $d$ за скобки в левой части:

$d(ab - 1) = \frac{d^2ab}{3}$

Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то и $d = \text{НОД}(m; n)$ является натуральным числом, а значит $d \ge 1$. Разделим обе части уравнения на $d$:

$ab - 1 = \frac{dab}{3}$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3(ab - 1) = dab$

$3ab - 3 = dab$

Сгруппируем слагаемые, содержащие произведение $ab$:

$3ab - dab = 3$

$ab(3 - d) = 3$

Поскольку $a, b, d$ — натуральные числа, произведение $ab$ также является натуральным числом. Уравнение показывает, что произведение двух целых чисел $ab$ и $(3 - d)$ равно 3. Так как $ab > 0$, то и множитель $(3 - d)$ должен быть положительным целым числом.

Следовательно, $3 - d > 0$, откуда $d < 3$.

Так как $d$ — натуральное число, его возможные значения: $d=1$ или $d=2$.

Рассмотрим оба случая.

1. Пусть $d = 1$.

Подставим это значение в уравнение $ab(3 - d) = 3$:

$ab(3 - 1) = 3$

$2ab = 3$

$ab = \frac{3}{2}$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их произведение $ab$ должно быть целым числом. $\frac{3}{2}$ не является целым, поэтому в этом случае решений нет.

2. Пусть $d = 2$.

Подставим это значение в уравнение $ab(3 - d) = 3$:

$ab(3 - 2) = 3$

$ab(1) = 3$

$ab = 3$

Теперь нам нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$, произведение которых равно 3. Так как 3 — простое число, единственными такими парами (с точностью до порядка) являются 1 и 3. $\text{НОД}(1; 3) = 1$, так что условие взаимной простоты выполняется.

Возможные пары $(a; b)$: $(1; 3)$ и $(3; 1)$.

Найдем соответствующие пары $(m; n)$, зная, что $d=2$:

- Если $a=1, b=3$, то $m = da = 2 \cdot 1 = 2$ и $n = db = 2 \cdot 3 = 6$. Получаем пару $(2; 6)$.

- Если $a=3, b=1$, то $m = da = 2 \cdot 3 = 6$ и $n = db = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем пару $(6; 2)$.

Проверим найденные решения. Для пары $(2; 6)$:

$\text{НОД}(2; 6) = 2$

$\text{НОК}(2; 6) = 6$

Левая часть: $\text{НОК}(2; 6) - \text{НОД}(2; 6) = 6 - 2 = 4$.

Правая часть: $\frac{mn}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Равенство $4=4$ выполняется. Следовательно, пары $(2; 6)$ и $(6; 2)$ являются решениями.

Ответ: $(2; 6), (6; 2)$.