Номер 28.22, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.22, страница 235.
№28.22 (с. 235)
Условие. №28.22 (с. 235)
скриншот условия
 
                                28.22. Найдите все пары натуральных чисел m и n таких, что
$\text{НОК} (m; n) - \text{НОД} (m; n) = \frac{mn}{3}$
Решение. №28.22 (с. 235)
Для решения данного уравнения воспользуемся основными свойствами Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) для натуральных чисел $m$ и $n$.
Обозначим $d = \text{НОД}(m; n)$. Тогда числа $m$ и $n$ можно представить в виде $m = da$ и $n = db$, где $a$ и $b$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(a; b) = 1$.
Используя эти обозначения, выразим НОК(m; n):
$\text{НОК}(m; n) = \text{НОК}(da; db) = d \cdot \text{НОК}(a; b)$.
Поскольку $a$ и $b$ взаимно просты, их НОК равен их произведению: $\text{НОК}(a; b) = ab$.
Следовательно, $\text{НОК}(m; n) = dab$.
Теперь подставим выражения для НОД и НОК в исходное уравнение:
$\text{НОК}(m; n) - \text{НОД}(m; n) = \frac{mn}{3}$
$dab - d = \frac{(da)(db)}{3}$
Вынесем $d$ за скобки в левой части:
$d(ab - 1) = \frac{d^2ab}{3}$
Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то и $d = \text{НОД}(m; n)$ является натуральным числом, а значит $d \ge 1$. Разделим обе части уравнения на $d$:
$ab - 1 = \frac{dab}{3}$
Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3(ab - 1) = dab$
$3ab - 3 = dab$
Сгруппируем слагаемые, содержащие произведение $ab$:
$3ab - dab = 3$
$ab(3 - d) = 3$
Поскольку $a, b, d$ — натуральные числа, произведение $ab$ также является натуральным числом. Уравнение показывает, что произведение двух целых чисел $ab$ и $(3 - d)$ равно 3. Так как $ab > 0$, то и множитель $(3 - d)$ должен быть положительным целым числом.
Следовательно, $3 - d > 0$, откуда $d < 3$.
Так как $d$ — натуральное число, его возможные значения: $d=1$ или $d=2$.
Рассмотрим оба случая.
1. Пусть $d = 1$.
Подставим это значение в уравнение $ab(3 - d) = 3$:
$ab(3 - 1) = 3$
$2ab = 3$
$ab = \frac{3}{2}$
Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их произведение $ab$ должно быть целым числом. $\frac{3}{2}$ не является целым, поэтому в этом случае решений нет.
2. Пусть $d = 2$.
Подставим это значение в уравнение $ab(3 - d) = 3$:
$ab(3 - 2) = 3$
$ab(1) = 3$
$ab = 3$
Теперь нам нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$, произведение которых равно 3. Так как 3 — простое число, единственными такими парами (с точностью до порядка) являются 1 и 3. $\text{НОД}(1; 3) = 1$, так что условие взаимной простоты выполняется.
Возможные пары $(a; b)$: $(1; 3)$ и $(3; 1)$.
Найдем соответствующие пары $(m; n)$, зная, что $d=2$:
- Если $a=1, b=3$, то $m = da = 2 \cdot 1 = 2$ и $n = db = 2 \cdot 3 = 6$. Получаем пару $(2; 6)$.
- Если $a=3, b=1$, то $m = da = 2 \cdot 3 = 6$ и $n = db = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем пару $(6; 2)$.
Проверим найденные решения. Для пары $(2; 6)$:
$\text{НОД}(2; 6) = 2$
$\text{НОК}(2; 6) = 6$
Левая часть: $\text{НОК}(2; 6) - \text{НОД}(2; 6) = 6 - 2 = 4$.
Правая часть: $\frac{mn}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
Равенство $4=4$ выполняется. Следовательно, пары $(2; 6)$ и $(6; 2)$ являются решениями.
Ответ: $(2; 6), (6; 2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 28.22 расположенного на странице 235 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.22 (с. 235), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    