Номер 28.23, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.23, страница 235.

№28.23 (с. 235)
Условие. №28.23 (с. 235)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 235, номер 28.23, Условие

28.23. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел $(m; n)$, первый автомат выдаёт карточку с числами $(m - n; n)$, второй — карточку с числами $(m + n; n)$, третий — карточку с числами $(n; m)$. Сначала есть карточка с парой чисел $(46; 51)$. Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$?

Решение. №28.23 (с. 235)

Проанализируем операции, которые выполняют автоматы над парой чисел $(m; n)$:

1. Первый автомат: $(m; n) \rightarrow (m - n; n)$

2. Второй автомат: $(m; n) \rightarrow (m + n; n)$

3. Третий автомат: $(m; n) \rightarrow (n; m)$

Чтобы определить, можно ли из одной пары чисел получить другую, поищем инвариант — величину, которая не изменяется при выполнении указанных операций. В данном случае таким инвариантом является наибольший общий делитель (НОД) пары чисел.

Проверим, что НОД сохраняется при каждой операции:

1. Для первого и второго автоматов используется свойство наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a \pm b, b)$. Таким образом, $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(m-n, n)$ и $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(m+n, n)$. НОД сохраняется.

2. Для третьего автомата, который меняет числа местами, очевидно, что $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(n, m)$. НОД также сохраняется.

Поскольку каждая из трех операций сохраняет НОД пары чисел, любая последовательность этих операций также будет сохранять НОД исходной пары.

Теперь вычислим НОД для начальной и конечной пар чисел.

Для начальной пары $(46; 51)$:
Разложим числа на простые множители:
$46 = 2 \times 23$
$51 = 3 \times 17$
У чисел 46 и 51 нет общих простых делителей, следовательно, $\text{НОД}(46, 51) = 1$.

Для целевой пары $(15; 33)$:
Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \times 5$
$33 = 3 \times 11$
Наибольший общий делитель этих чисел равен 3, то есть $\text{НОД}(15, 33) = 3$.

Так как НОД начальной пары ($\text{НОД}(46, 51) = 1$) не равен НОД целевой пары ($\text{НОД}(15, 33) = 3$), а НОД является инвариантом для всех допустимых операций, то из пары $(46; 51)$ невозможно получить пару $(15; 33)$.

Ответ: нет, нельзя.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 28.23 расположенного на странице 235 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.23 (с. 235), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.