Номер 28.23, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.23, страница 235.
№28.23 (с. 235)
Условие. №28.23 (с. 235)
скриншот условия
 
                                28.23. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел $(m; n)$, первый автомат выдаёт карточку с числами $(m - n; n)$, второй — карточку с числами $(m + n; n)$, третий — карточку с числами $(n; m)$. Сначала есть карточка с парой чисел $(46; 51)$. Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$?
Решение. №28.23 (с. 235)
Проанализируем операции, которые выполняют автоматы над парой чисел $(m; n)$:
1. Первый автомат: $(m; n) \rightarrow (m - n; n)$
2. Второй автомат: $(m; n) \rightarrow (m + n; n)$
3. Третий автомат: $(m; n) \rightarrow (n; m)$
Чтобы определить, можно ли из одной пары чисел получить другую, поищем инвариант — величину, которая не изменяется при выполнении указанных операций. В данном случае таким инвариантом является наибольший общий делитель (НОД) пары чисел.
Проверим, что НОД сохраняется при каждой операции:
1. Для первого и второго автоматов используется свойство наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a \pm b, b)$. Таким образом, $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(m-n, n)$ и $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(m+n, n)$. НОД сохраняется.
2. Для третьего автомата, который меняет числа местами, очевидно, что $\text{НОД}(m, n) = \text{НОД}(n, m)$. НОД также сохраняется.
Поскольку каждая из трех операций сохраняет НОД пары чисел, любая последовательность этих операций также будет сохранять НОД исходной пары.
Теперь вычислим НОД для начальной и конечной пар чисел.
Для начальной пары $(46; 51)$:
Разложим числа на простые множители:
$46 = 2 \times 23$
$51 = 3 \times 17$
У чисел 46 и 51 нет общих простых делителей, следовательно, $\text{НОД}(46, 51) = 1$.
Для целевой пары $(15; 33)$:
Разложим числа на простые множители:
$15 = 3 \times 5$
$33 = 3 \times 11$
Наибольший общий делитель этих чисел равен 3, то есть $\text{НОД}(15, 33) = 3$.
Так как НОД начальной пары ($\text{НОД}(46, 51) = 1$) не равен НОД целевой пары ($\text{НОД}(15, 33) = 3$), а НОД является инвариантом для всех допустимых операций, то из пары $(46; 51)$ невозможно получить пару $(15; 33)$.
Ответ: нет, нельзя.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 28.23 расположенного на странице 235 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.23 (с. 235), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    