Номер 28.16, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.16, страница 234.

Условие.

28.16. От прямоугольника размерами $324 \times 141$ мм отрезают квадраты со стороной 141 мм, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше чем 141 мм. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, сторона которых равна длине его меньшей стороны, и т. д. Какова длина стороны последнего квадрата?

Решение.

Описанный в задаче процесс является геометрической реализацией алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) размеров сторон прямоугольника. Длина стороны последнего квадрата будет равна НОД(324, 141).

Выполним пошагово процесс разрезания:

1. Исходный прямоугольник имеет размеры $324 \times 141$ мм. Меньшая сторона равна 141 мм. Делим большую сторону на меньшую, чтобы узнать, сколько квадратов со стороной 141 мм можно отрезать:
$324 = 2 \times 141 + 42$.
Можно отрезать 2 квадрата размером $141 \times 141$ мм. Остается прямоугольник размером $141 \times 42$ мм.

2. Теперь работаем с прямоугольником $141 \times 42$ мм. Меньшая сторона равна 42 мм. Отрезаем квадраты со стороной 42 мм:
$141 = 3 \times 42 + 15$.
Можно отрезать 3 квадрата размером $42 \times 42$ мм. Остается прямоугольник размером $42 \times 15$ мм.

3. Для прямоугольника $42 \times 15$ мм, у которого меньшая сторона равна 15 мм:
$42 = 2 \times 15 + 12$.
Отрезаем 2 квадрата размером $15 \times 15$ мм. Остается прямоугольник размером $15 \times 12$ мм.

4. Для прямоугольника $15 \times 12$ мм, у которого меньшая сторона равна 12 мм:
$15 = 1 \times 12 + 3$.
Отрезаем 1 квадрат размером $12 \times 12$ мм. Остается прямоугольник размером $12 \times 3$ мм.

5. Для прямоугольника $12 \times 3$ мм, у которого меньшая сторона равна 3 мм:
$12 = 4 \times 3 + 0$.
Отрезаем 4 квадрата размером $3 \times 3$ мм. Остаток равен 0, прямоугольник полностью покрыт квадратами, и процесс завершается.

Последние квадраты, которые были вырезаны, имели сторону длиной 3 мм.

Ответ: 3 мм