Номер 28.9, страница 234 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.9, страница 234.

Условие.

28.9. Докажите, что при любом $n \in N$ является несократимой дробь:

1) $\frac{4n+3}{20n+23}$;

2) $\frac{12n+1}{30n+2}$.

Решение.

Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для доказательства используем свойство НОД, основанное на алгоритме Евклида: если число $d$ является общим делителем двух чисел, то оно также является делителем их разности и любой их линейной комбинации.

1)

Докажем, что дробь $\frac{4n + 3}{20n + 23}$ является несократимой. Пусть $d = \text{НОД}(4n + 3, 20n + 23)$.
Тогда $d$ должен делить как числитель, так и знаменатель. Следовательно, $d$ должен делить и их линейную комбинацию. Подберем коэффициенты так, чтобы исключить переменную $n$. Умножим выражение $(4n + 3)$ на 5 и вычтем его из $(20n + 23)$: $$ (20n + 23) - 5 \cdot (4n + 3) = 20n + 23 - 20n - 15 = 8 $$ Поскольку $d$ делит результат этой операции, $d$ должен быть делителем числа 8. Возможные натуральные значения для $d$: 1, 2, 4, 8.
Теперь рассмотрим числитель $4n + 3$. При любом натуральном $n$, произведение $4n$ является четным числом. Сумма четного числа $(4n)$ и нечетного числа (3) всегда является нечетным числом. Так как числитель $4n + 3$ — нечетное число, его общие делители со знаменателем тоже должны быть нечетными. Из списка возможных делителей (1, 2, 4, 8) только 1 является нечетным.
Следовательно, $d = 1$.
Ответ: Так как $\text{НОД}(4n + 3, 20n + 23) = 1$, дробь является несократимой.

2)

Докажем, что дробь $\frac{12n + 1}{30n + 2}$ является несократимой. Пусть $d = \text{НОД}(12n + 1, 30n + 2)$.
Исключим переменную $n$ с помощью линейной комбинации. Наименьшее общее кратное коэффициентов при $n$ (12 и 30) равно 60. Умножим первое выражение на 5, а второе на 2, и найдем разность полученных выражений: $$ 5 \cdot (12n + 1) = 60n + 5 $$ $$ 2 \cdot (30n + 2) = 60n + 4 $$ Их разность равна: $$ (60n + 5) - (60n + 4) = 1 $$ Так как $d$ должен делить эту разность, $d$ является делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1.
Следовательно, $d = 1$.
Ответ: Так как $\text{НОД}(12n + 1, 30n + 2) = 1$, дробь является несократимой.