Номер 28.6, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.6, страница 233.

Условие.

18.6. Чему может быть равным $\text{НОД}(a; b)$, если:

1) $a = 2n + 1, b = 2n + 3$;

2) $a = 2n + 1, b = 8n + 7$?

Решение.

1)

Пусть $d = \text{НОД}(a; b)$, где $a = 2n + 1$ и $b = 2n + 3$.
Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(x; y) = \text{НОД}(x; y - x)$.
В нашем случае $d = \text{НОД}(2n + 1; 2n + 3) = \text{НОД}(2n + 1; (2n + 3) - (2n + 1))$.
Вычислим разность: $(2n + 3) - (2n + 1) = 2$.
Следовательно, $d = \text{НОД}(2n + 1; 2)$.
Выражение $a = 2n + 1$ при любом целом значении $n$ задаёт нечётное число.
Наибольший общий делитель любого нечётного числа и числа 2 всегда равен 1, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.
Таким образом, $\text{НОД}(a; b)$ всегда равен 1.

Ответ: 1

2)

Пусть $d = \text{НОД}(a; b)$, где $a = 2n + 1$ и $b = 8n + 7$.
Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(x; y) = \text{НОД}(x; y - kx)$ для любого целого $k$.
Выразим $b$ через $a$. Заметим, что $b = 8n + 7 = 4(2n + 1) + 3$.
Так как $a = 2n + 1$, то $b = 4a + 3$.
Теперь найдём $\text{НОД}(a; b)$:
$d = \text{НОД}(a; 4a + 3) = \text{НОД}(a; (4a + 3) - 4a) = \text{НОД}(a; 3)$.
Наибольший общий делитель числа $a$ и числа 3 может быть равен только одному из делителей числа 3, то есть 1 или 3.
Проверим, достижимы ли оба этих значения.
1. Может ли $\text{НОД}(a; b) = 3$?
Это возможно, если $a = 2n + 1$ делится на 3.
Например, подберем такое $n$. Пусть $n = 1$:
$a = 2(1) + 1 = 3$.
$b = 8(1) + 7 = 15$.
$\text{НОД}(3; 15) = 3$. Следовательно, значение 3 возможно.
2. Может ли $\text{НОД}(a; b) = 1$?
Это возможно, если $a = 2n + 1$ не делится на 3.
Например, пусть $n = 2$:
$a = 2(2) + 1 = 5$.
$b = 8(2) + 7 = 16 + 7 = 23$.
$\text{НОД}(5; 23) = 1$, так как 5 и 23 — взаимно простые числа. Следовательно, значение 1 возможно.
Таким образом, $\text{НОД}(a; b)$ может быть равен 1 или 3.

Ответ: 1 или 3