Номер 28.21, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 28. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 28.21, страница 235.

Условие.

28.21. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{N}$ дробь $\frac{n^4 + 4n^2 + 3}{n^4 + 6n^2 + 8}$ несократима.

Решение.

Для того чтобы доказать, что дробь несократима, необходимо показать, что наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен 1 при любом натуральном $n$.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Оба выражения являются биквадратными трехчленами. Сделаем замену переменной $x = n^2$.

Числитель: $n^4 + 4n^2 + 3 = x^2 + 4x + 3$.
Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, $x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$.
Выполняя обратную замену, получаем: $n^4 + 4n^2 + 3 = (n^2+1)(n^2+3)$.

Знаменатель: $n^4 + 6n^2 + 8 = x^2 + 6x + 8$.
Корни уравнения $x^2 + 6x + 8 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.
Следовательно, $x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$.
Выполняя обратную замену, получаем: $n^4 + 6n^2 + 8 = (n^2+2)(n^2+4)$.

Таким образом, исходную дробь можно переписать в виде: $$ \frac{(n^2+1)(n^2+3)}{(n^2+2)(n^2+4)} $$

Дробь будет несократимой, если числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1. Для этого достаточно показать, что каждый множитель числителя взаимно прост с каждым множителем знаменателя.

Рассмотрим НОД для каждой пары множителей (один из числителя, другой из знаменателя):

1. $\text{НОД}(n^2+1, n^2+2)$. Так как $n^2+1$ и $n^2+2$ являются последовательными натуральными числами, они взаимно просты, и их НОД равен 1.

2. $\text{НОД}(n^2+3, n^2+2)$. Разность этих чисел равна $(n^2+3) - (n^2+2) = 1$. Любой общий делитель должен делить и их разность, поэтому НОД равен 1.

3. $\text{НОД}(n^2+3, n^2+4)$. Эти числа также являются последовательными, поэтому их НОД равен 1.

4. $\text{НОД}(n^2+1, n^2+4)$. Разность этих чисел равна $(n^2+4) - (n^2+1) = 3$. Следовательно, их НОД может быть равен либо 1, либо 3. Докажем, что он не может быть равен 3. Для этого покажем, что число $n^2+1$ никогда не делится на 3.

Рассмотрим возможные остатки от деления квадрата натурального числа $n^2$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 ($n \equiv 0 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3 ($n \equiv 1 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3 ($n \equiv 2 \pmod{3}$), то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, $n^2$ при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1.

Тогда выражение $n^2+1$ при делении на 3 будет давать в остатке $0+1=1$ или $1+1=2$. Ни в одном из случаев $n^2+1$ не делится на 3 нацело. Следовательно, $\text{НОД}(n^2+1, n^2+4)$ не может быть равен 3, а значит, он равен 1.

Поскольку все множители числителя взаимно просты со всеми множителями знаменателя, то числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, кроме 1. Это и означает, что дробь несократима.

Ответ: Утверждение доказано, дробь несократима при любом натуральном $n$.