Вопросы?, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 29. Признаки делимости - страница 238.

Условие.

1. Сформулируйте признак делимости на 9.

2. Сформулируйте признак делимости на 3.

3. Сформулируйте признак делимости на 11.

Решение.

1. Сформулируйте признак делимости на 9.

Натуральное число делится нацело на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Этот признак следует из того, что любая степень числа 10 (например, $10, 100, 1000$ и т.д.) при делении на 9 даёт в остатке 1. Например, $100 = 99 + 1 = 9 \cdot 11 + 1$. Таким образом, остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

Пример: Проверим, делится ли число 4869 на 9. Для этого найдем сумму его цифр: $4 + 8 + 6 + 9 = 27$. Так как 27 делится на 9 ($27 : 9 = 3$), то и число 4869 делится на 9.

Другой пример: Число 1234. Сумма его цифр равна $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Число 10 не делится на 9, следовательно, и число 1234 не делится на 9.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

2. Сформулируйте признак делимости на 3.

Натуральное число делится нацело на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Доказательство этого признака аналогично признаку делимости на 9, так как любая степень числа 10 при делении на 3 также даёт в остатке 1. Например, $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Поэтому остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3.

Пример: Проверим, делится ли число 582 на 3. Сумма его цифр: $5 + 8 + 2 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 : 3 = 5$), значит, и число 582 делится на 3.

Другой пример: Число 713. Сумма его цифр равна $7 + 1 + 3 = 11$. Число 11 не делится на 3, следовательно, и число 713 не делится на 3.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

3. Сформулируйте признак делимости на 11.

Натуральное число делится нацело на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Этот признак основан на том, что степени числа 10 при делении на 11 дают в остатке чередующиеся 1 и -1 (или 10). Например, $10 = 11 - 1$, $100 = 99 + 1 = 9 \cdot 11 + 1$, $1000 = 1001 - 1 = 91 \cdot 11 - 1$. В общем виде, $10^k$ дает остаток 1 при делении на 11, если $k$ - четное, и остаток -1 (или 10), если $k$ - нечетное.

Пример: Проверим, делится ли число 918082 на 11. Цифры, стоящие на нечетных местах (первая, третья, пятая справа): 2, 0, 1. Их сумма: $2 + 0 + 1 = 3$. Цифры, стоящие на четных местах (вторая, четвертая, шестая): 8, 8, 9. Их сумма: $8 + 8 + 9 = 25$. Найдем разность этих сумм: $25 - 3 = 22$. Так как 22 делится на 11, то и число 918082 делится на 11.

Другой пример: Число 12345. Сумма цифр на нечетных местах: $5 + 3 + 1 = 9$. Сумма цифр на четных местах: $4 + 2 = 6$. Разность: $9 - 6 = 3$. Число 3 не делится на 11, следовательно, и число 12345 не делится на 11.

Ответ: Число делится на 11, если разность между суммой его цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях (считая справа налево) делится на 11.