Номер 30.45, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 30. Простые и составные числа - номер 30.45, страница 249.

Условие.

30.45. Постройте график функции $y = \frac{9x^2 - 6x + 1}{3x - 1}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{9x^2 - 6x + 1}{3x - 1}$ выполним следующие шаги.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ).
Функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
$3x - 1 \neq 0$
$3x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Заметим, что числитель дроби $9x^2 - 6x + 1$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$.
Подставим это выражение обратно в функцию:
$y = \frac{(3x - 1)^2}{3x - 1}$.
На всей области определения, то есть при $x \neq \frac{1}{3}$, мы можем сократить дробь:
$y = 3x - 1$.

3. Определим вид графика.
Мы получили, что при всех допустимых значениях $x$ функция совпадает с линейной функцией $y = 3x - 1$. Графиком такой функции является прямая. Однако из-за ограничения ОДЗ ($x \neq \frac{1}{3}$), точка на этой прямой, соответствующая абсциссе $x = \frac{1}{3}$, должна быть исключена. Такая точка называется "выколотой" или точкой разрыва.

4. Найдем координаты "выколотой" точки.
Чтобы найти ординату этой точки, подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в уравнение упрощенной функции $y = 3x - 1$:
$y = 3 \cdot (\frac{1}{3}) - 1 = 1 - 1 = 0$.
Следовательно, точка с координатами $(\frac{1}{3}; 0)$ не принадлежит графику функции.

5. Построим график.
Для построения прямой $y = 3x - 1$ достаточно найти две любые точки, принадлежащие ей.
- Если $x = 0$, то $y = 3(0) - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
- Если $x = 1$, то $y = 3(1) - 1 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.
Проведем через эти две точки прямую линию и на ней отметим выколотую точку $(\frac{1}{3}; 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{9x^2 - 6x + 1}{3x - 1}$ является прямая $y = 3x - 1$ с выколотой точкой $(\frac{1}{3}; 0)$.