Номер 31.3, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.3, страница 258.

Условие.

31.3. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = 2x^5 + 5x^3 + 6x - 7$, $B(x) = x^3 + x$;

2) $A(x) = x^4 + x + 1$, $B(x) = x^2 + x + 1$;

3) $A(x) = x^4 + x^2 + 1$, $B(x) = x + 5$.

Решение.

1) Выполним деление многочлена $A(x) = 2x^5 + 5x^3 + 6x - 7$ на многочлен $B(x) = x^3 + x$ методом деления «уголком».

Первый шаг: делим старший член делимого ($2x^5$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем $2x^2$ — это первый член неполного частного. Умножаем $2x^2$ на делитель $x^3 + x$ и вычитаем результат из делимого:

$(2x^5 + 5x^3 + 6x - 7) - 2x^2(x^3 + x) = (2x^5 + 5x^3 + 6x - 7) - (2x^5 + 2x^3) = 3x^3 + 6x - 7$.

Второй шаг: делим старший член полученного многочлена ($3x^3$) на старший член делителя ($x^3$). Получаем $3$ — это второй член неполного частного. Умножаем $3$ на $x^3 + x$ и вычитаем результат:

$(3x^3 + 6x - 7) - 3(x^3 + x) = (3x^3 + 6x - 7) - (3x^3 + 3x) = 3x - 7$.

Степень многочлена $3x - 7$ (равна 1) меньше степени делителя $x^3 + x$ (равна 3), поэтому деление завершено. Таким образом, неполное частное равно $2x^2 + 3$, а остаток равен $3x - 7$.

Ответ: неполное частное $2x^2 + 3$, остаток $3x - 7$.

2) Выполним деление многочлена $A(x) = x^4 + x + 1$ на многочлен $B(x) = x^2 + x + 1$.

Первый шаг: делим $x^4$ на $x^2$, получаем $x^2$. Умножаем $x^2$ на $(x^2 + x + 1)$ и вычитаем из $A(x)$ (для удобства представим $A(x)$ как $x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1$):

$(x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1) = (x^4 + x + 1) - (x^4 + x^3 + x^2) = -x^3 - x^2 + x + 1$.

Второй шаг: делим старший член нового делимого ($-x^3$) на $x^2$, получаем $-x$. Умножаем $-x$ на $(x^2 + x + 1)$ и вычитаем:

$(-x^3 - x^2 + x + 1) - (-x)(x^2 + x + 1) = (-x^3 - x^2 + x + 1) - (-x^3 - x^2 - x) = 2x + 1$.

Степень остатка $2x+1$ (равна 1) меньше степени делителя $x^2 + x + 1$ (равна 2), поэтому деление завершено. Неполное частное равно $x^2 - x$, остаток равен $2x + 1$.

Ответ: неполное частное $x^2 - x$, остаток $2x + 1$.

3) Выполним деление многочлена $A(x) = x^4 + x^2 + 1$ на многочлен $B(x) = x + 5$.

Шаг 1: Делим $x^4$ на $x$, получаем $x^3$. Промежуточный остаток: $(x^4 + x^2 + 1) - x^3(x+5) = x^4 + x^2 + 1 - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 1$.

Шаг 2: Делим $-5x^3$ на $x$, получаем $-5x^2$. Промежуточный остаток: $(-5x^3 + x^2 + 1) - (-5x^2)(x+5) = -5x^3 + x^2 + 1 - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2 + 1$.

Шаг 3: Делим $26x^2$ на $x$, получаем $26x$. Промежуточный остаток: $(26x^2 + 1) - 26x(x+5) = 26x^2 + 1 - (26x^2 + 130x) = -130x + 1$.

Шаг 4: Делим $-130x$ на $x$, получаем $-130$. Финальный остаток: $(-130x + 1) - (-130)(x+5) = -130x + 1 - (-130x - 650) = 651$.

Степень остатка $651$ (равна 0) меньше степени делителя $x + 5$ (равна 1), деление завершено. Неполное частное равно $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, остаток равен $651$.

Ответ: неполное частное $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, остаток $651$.