Номер 31.6, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.6, страница 258.

Условие.

31.6. Докажите, что $ (x^n - a^n) : (x^k - a^k) $, если $ n : k $, $ n \in N $, $ k \in N $.

Решение.

По условию, $n$ делится на $k$ ($n \vdots k$), где $n, k \in \mathbb{N}$. Это означает, что существует натуральное число $m$, такое что $n = km$.

Нам нужно доказать, что многочлен $P(x) = x^n - a^n$ делится на многочлен $Q(x) = x^k - a^k$.

Подставим $n = km$ в выражение для $P(x)$:

$x^n - a^n = x^{km} - a^{km}$

Используя свойство степени $(b^p)^q = b^{pq}$, перепишем выражение:

$x^{km} - a^{km} = (x^k)^m - (a^k)^m$

Воспользуемся общей формулой для разности $m$-ых степеней двух выражений $y$ и $z$:

$y^m - z^m = (y - z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + y^{m-3}z^2 + \dots + yz^{m-2} + z^{m-1})$

Эта формула показывает, что $y^m - z^m$ всегда делится на $y - z$ для любого натурального $m$.

Применим эту формулу к нашему выражению, положив $y = x^k$ и $z = a^k$:

$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k)((x^k)^{m-1} + (x^k)^{m-2}(a^k) + \dots + (x^k)(a^k)^{m-2} + (a^k)^{m-1})$

Таким образом, мы представили $x^n - a^n$ в виде произведения двух множителей, где первый множитель — это $x^k - a^k$. Второй множитель является многочленом.

Это означает, что $x^n - a^n$ делится на $x^k - a^k$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $n$ делится на $k$, то $n = km$ для некоторого натурального $m$. Тогда выражение $x^n - a^n$ можно представить как $(x^k)^m - (a^k)^m$. По формуле разности $m$-ых степеней это выражение делится на $x^k - a^k$.