Номер 31.6, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.6, страница 258.
№31.6 (с. 258)
Условие. №31.6 (с. 258)
скриншот условия
 
                                31.6. Докажите, что $ (x^n - a^n) : (x^k - a^k) $, если $ n : k $, $ n \in N $, $ k \in N $.
Решение. №31.6 (с. 258)
По условию, $n$ делится на $k$ ($n \vdots k$), где $n, k \in \mathbb{N}$. Это означает, что существует натуральное число $m$, такое что $n = km$.
Нам нужно доказать, что многочлен $P(x) = x^n - a^n$ делится на многочлен $Q(x) = x^k - a^k$.
Подставим $n = km$ в выражение для $P(x)$:
$x^n - a^n = x^{km} - a^{km}$
Используя свойство степени $(b^p)^q = b^{pq}$, перепишем выражение:
$x^{km} - a^{km} = (x^k)^m - (a^k)^m$
Воспользуемся общей формулой для разности $m$-ых степеней двух выражений $y$ и $z$:
$y^m - z^m = (y - z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + y^{m-3}z^2 + \dots + yz^{m-2} + z^{m-1})$
Эта формула показывает, что $y^m - z^m$ всегда делится на $y - z$ для любого натурального $m$.
Применим эту формулу к нашему выражению, положив $y = x^k$ и $z = a^k$:
$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k)((x^k)^{m-1} + (x^k)^{m-2}(a^k) + \dots + (x^k)(a^k)^{m-2} + (a^k)^{m-1})$
Таким образом, мы представили $x^n - a^n$ в виде произведения двух множителей, где первый множитель — это $x^k - a^k$. Второй множитель является многочленом.
Это означает, что $x^n - a^n$ делится на $x^k - a^k$ без остатка. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Так как $n$ делится на $k$, то $n = km$ для некоторого натурального $m$. Тогда выражение $x^n - a^n$ можно представить как $(x^k)^m - (a^k)^m$. По формуле разности $m$-ых степеней это выражение делится на $x^k - a^k$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 31.6 расположенного на странице 258 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.6 (с. 258), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    