Номер 31.8, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.8, страница 258.
№31.8 (с. 258)
Условие. №31.8 (с. 258)
скриншот условия
 
                                31.8. Выделите целую часть из рациональной дроби:
1) $ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} $;
2) $ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} $.
Решение. №31.8 (с. 258)
Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби, необходимо выполнить деление многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе. Это можно сделать, например, делением столбиком (или "уголком"). В результате мы представим дробь в виде суммы многочлена (целой части) и новой дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя (остатка).
1) Выделим целую часть из дроби $ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} $.
Для этого разделим многочлен $ 2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1 $ на многочлен $ x^2 - x $ столбиком.
1. Делим старший член делимого ($ 2x^4 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 $. Это первый член частного.
2. Умножаем $ 2x^2 $ на делитель $ x^2 - x $: $ 2x^2(x^2 - x) = 2x^4 - 2x^3 $.
3. Вычитаем полученное выражение из делимого: $ (2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1) - (2x^4 - 2x^3) = 3x^3 - 5x^2 - x + 1 $.
4. Делим старший член нового делимого ($ 3x^3 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{3x^3}{x^2} = 3x $. Это второй член частного.
5. Умножаем $ 3x $ на делитель: $ 3x(x^2 - x) = 3x^3 - 3x^2 $.
6. Вычитаем: $ (3x^3 - 5x^2 - x + 1) - (3x^3 - 3x^2) = -2x^2 - x + 1 $.
7. Делим старший член нового делимого ($ -2x^2 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{-2x^2}{x^2} = -2 $. Это третий член частного.
8. Умножаем $ -2 $ на делитель: $ -2(x^2 - x) = -2x^2 + 2x $.
9. Вычитаем: $ (-2x^2 - x + 1) - (-2x^2 + 2x) = -3x + 1 $.
Степень остатка $ -3x + 1 $ (равна 1) меньше степени делителя $ x^2 - x $ (равна 2), поэтому деление завершено. Частное (целая часть) равно $ 2x^2 + 3x - 2 $, а остаток равен $ -3x + 1 $.
Таким образом, дробь можно записать в виде:
$ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} = 2x^2 + 3x - 2 + \frac{-3x + 1}{x^2 - x} $.
Целая часть – это многочлен $ 2x^2 + 3x - 2 $.
Ответ: $ 2x^2 + 3x - 2 $.
2) Выделим целую часть из дроби $ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} $.
Для удобства деления расположим члены многочленов в числителе и знаменателе по убыванию степеней $ x $:
$ \frac{-3x^5 + 5x^4 + 3x - 1}{-x^2 + x + 1} $.
Разделим многочлен $ -3x^5 + 5x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 3x - 1 $ на $ -x^2 + x + 1 $ столбиком.
1. Делим $ -3x^5 $ на $ -x^2 $. Получаем $ 3x^3 $.
2. Умножаем $ 3x^3 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ 3x^3(-x^2 + x + 1) = -3x^5 + 3x^4 + 3x^3 $.
3. Вычитаем из делимого: $ (-3x^5 + 5x^4 + ...) - (-3x^5 + 3x^4 + 3x^3) = 2x^4 - 3x^3 + 3x - 1 $.
4. Делим $ 2x^4 $ на $ -x^2 $. Получаем $ -2x^2 $.
5. Умножаем $ -2x^2 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ -2x^2(-x^2 + x + 1) = 2x^4 - 2x^3 - 2x^2 $.
6. Вычитаем: $ (2x^4 - 3x^3 + ...) - (2x^4 - 2x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2 + 3x - 1 $.
7. Делим $ -x^3 $ на $ -x^2 $. Получаем $ x $.
8. Умножаем $ x $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ x(-x^2 + x + 1) = -x^3 + x^2 + x $.
9. Вычитаем: $ (-x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (-x^3 + x^2 + x) = x^2 + 2x - 1 $.
10. Делим $ x^2 $ на $ -x^2 $. Получаем $ -1 $.
11. Умножаем $ -1 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ -1(-x^2 + x + 1) = x^2 - x - 1 $.
12. Вычитаем: $ (x^2 + 2x - 1) - (x^2 - x - 1) = 3x $.
Степень остатка $ 3x $ (равна 1) меньше степени делителя $ -x^2 + x + 1 $ (равна 2), деление завершено. Частное (целая часть) равно $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $, а остаток равен $ 3x $.
Таким образом, дробь можно записать в виде:
$ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} = 3x^3 - 2x^2 + x - 1 + \frac{3x}{-x^2 + x + 1} $.
Целая часть – это многочлен $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $.
Ответ: $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 31.8 расположенного на странице 258 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.8 (с. 258), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    