Номер 31.8, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 31. Деление многочленов - номер 31.8, страница 258.

Условие.

31.8. Выделите целую часть из рациональной дроби:

1) $ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} $;

2) $ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} $.

Решение.

Чтобы выделить целую часть из рациональной дроби, необходимо выполнить деление многочлена, стоящего в числителе, на многочлен, стоящий в знаменателе. Это можно сделать, например, делением столбиком (или "уголком"). В результате мы представим дробь в виде суммы многочлена (целой части) и новой дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя (остатка).

1) Выделим целую часть из дроби $ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} $.

Для этого разделим многочлен $ 2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1 $ на многочлен $ x^2 - x $ столбиком.

1. Делим старший член делимого ($ 2x^4 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{2x^4}{x^2} = 2x^2 $. Это первый член частного.
2. Умножаем $ 2x^2 $ на делитель $ x^2 - x $: $ 2x^2(x^2 - x) = 2x^4 - 2x^3 $.
3. Вычитаем полученное выражение из делимого: $ (2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1) - (2x^4 - 2x^3) = 3x^3 - 5x^2 - x + 1 $.
4. Делим старший член нового делимого ($ 3x^3 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{3x^3}{x^2} = 3x $. Это второй член частного.
5. Умножаем $ 3x $ на делитель: $ 3x(x^2 - x) = 3x^3 - 3x^2 $.
6. Вычитаем: $ (3x^3 - 5x^2 - x + 1) - (3x^3 - 3x^2) = -2x^2 - x + 1 $.
7. Делим старший член нового делимого ($ -2x^2 $) на старший член делителя ($ x^2 $). Получаем $ \frac{-2x^2}{x^2} = -2 $. Это третий член частного.
8. Умножаем $ -2 $ на делитель: $ -2(x^2 - x) = -2x^2 + 2x $.
9. Вычитаем: $ (-2x^2 - x + 1) - (-2x^2 + 2x) = -3x + 1 $.

Степень остатка $ -3x + 1 $ (равна 1) меньше степени делителя $ x^2 - x $ (равна 2), поэтому деление завершено. Частное (целая часть) равно $ 2x^2 + 3x - 2 $, а остаток равен $ -3x + 1 $.

Таким образом, дробь можно записать в виде:

$ \frac{2x^4 + x^3 - 5x^2 - x + 1}{x^2 - x} = 2x^2 + 3x - 2 + \frac{-3x + 1}{x^2 - x} $.

Целая часть – это многочлен $ 2x^2 + 3x - 2 $.

Ответ: $ 2x^2 + 3x - 2 $.

2) Выделим целую часть из дроби $ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} $.

Для удобства деления расположим члены многочленов в числителе и знаменателе по убыванию степеней $ x $:

$ \frac{-3x^5 + 5x^4 + 3x - 1}{-x^2 + x + 1} $.

Разделим многочлен $ -3x^5 + 5x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 3x - 1 $ на $ -x^2 + x + 1 $ столбиком.

1. Делим $ -3x^5 $ на $ -x^2 $. Получаем $ 3x^3 $.
2. Умножаем $ 3x^3 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ 3x^3(-x^2 + x + 1) = -3x^5 + 3x^4 + 3x^3 $.
3. Вычитаем из делимого: $ (-3x^5 + 5x^4 + ...) - (-3x^5 + 3x^4 + 3x^3) = 2x^4 - 3x^3 + 3x - 1 $.
4. Делим $ 2x^4 $ на $ -x^2 $. Получаем $ -2x^2 $.
5. Умножаем $ -2x^2 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ -2x^2(-x^2 + x + 1) = 2x^4 - 2x^3 - 2x^2 $.
6. Вычитаем: $ (2x^4 - 3x^3 + ...) - (2x^4 - 2x^3 - 2x^2) = -x^3 + 2x^2 + 3x - 1 $.
7. Делим $ -x^3 $ на $ -x^2 $. Получаем $ x $.
8. Умножаем $ x $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ x(-x^2 + x + 1) = -x^3 + x^2 + x $.
9. Вычитаем: $ (-x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (-x^3 + x^2 + x) = x^2 + 2x - 1 $.
10. Делим $ x^2 $ на $ -x^2 $. Получаем $ -1 $.
11. Умножаем $ -1 $ на $ -x^2 + x + 1 $: $ -1(-x^2 + x + 1) = x^2 - x - 1 $.
12. Вычитаем: $ (x^2 + 2x - 1) - (x^2 - x - 1) = 3x $.

Степень остатка $ 3x $ (равна 1) меньше степени делителя $ -x^2 + x + 1 $ (равна 2), деление завершено. Частное (целая часть) равно $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $, а остаток равен $ 3x $.

Таким образом, дробь можно записать в виде:

$ \frac{5x^4 - 3x^5 + 3x - 1}{x + 1 - x^2} = 3x^3 - 2x^2 + x - 1 + \frac{3x}{-x^2 + x + 1} $.

Целая часть – это многочлен $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $.

Ответ: $ 3x^3 - 2x^2 + x - 1 $.