Номер 32.6, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.6, страница 262.

Условие.

32.6. Докажите, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x):$

1) $A(x) = x^4 - 8x^3 + 15x^2 + 4x - 20$, $B(x) = x^2 - x - 2$;

2) $A(x) = x^4 - 9x^3 + 9x^2 + 41x - 42$, $B(x) = x^2 + x - 2$;

3) $A(x) = x^5 - 9x^4 + 26x^3 - 18x^2 - 27x + 27$, $B(x) = x^2 - 4x + 3$.

Решение.

Чтобы доказать, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, можно использовать следствие из теоремы Безу. Если все корни многочлена $B(x)$ являются также и корнями многочлена $A(x)$, то $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка. Для каждого пункта найдем корни $B(x)$ и проверим это условие.

1)

Даны многочлены $A(x) = x^4 - 8x^3 + 15x^2 + 4x - 20$ и $B(x) = x^2 - x - 2$.

Найдем корни многочлена $B(x)$, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, $B(x)$ можно разложить на множители: $B(x) = (x - 2)(x + 1)$.

Теперь проверим, являются ли числа 2 и -1 корнями многочлена $A(x)$.
Вычислим значение $A(x)$ при $x = 2$:
$A(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^3 + 15 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 20 = 16 - 8 \cdot 8 + 15 \cdot 4 + 8 - 20 = 16 - 64 + 60 + 8 - 20 = 84 - 84 = 0$.
Так как $A(2) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x - 2)$.

Вычислим значение $A(x)$ при $x = -1$:
$A(-1) = (-1)^4 - 8 \cdot (-1)^3 + 15 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 20 = 1 - 8(-1) + 15(1) - 4 - 20 = 1 + 8 + 15 - 4 - 20 = 24 - 24 = 0$.
Так как $A(-1) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x + 1)$.

Поскольку многочлен $A(x)$ делится на каждый из множителей $(x - 2)$ и $(x + 1)$, он делится и на их произведение, то есть на $B(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Даны многочлены $A(x) = x^4 - 9x^3 + 9x^2 + 41x - 42$ и $B(x) = x^2 + x - 2$.

Найдем корни многочлена $B(x)$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, $B(x)$ можно разложить на множители: $B(x) = (x - 1)(x + 2)$.

Проверим, являются ли числа 1 и -2 корнями многочлена $A(x)$.
Вычислим значение $A(x)$ при $x = 1$:
$A(1) = 1^4 - 9 \cdot 1^3 + 9 \cdot 1^2 + 41 \cdot 1 - 42 = 1 - 9 + 9 + 41 - 42 = 42 - 42 = 0$.
Так как $A(1) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x - 1)$.

Вычислим значение $A(x)$ при $x = -2$:
$A(-2) = (-2)^4 - 9 \cdot (-2)^3 + 9 \cdot (-2)^2 + 41 \cdot (-2) - 42 = 16 - 9(-8) + 9(4) - 82 - 42 = 16 + 72 + 36 - 82 - 42 = 124 - 124 = 0$.
Так как $A(-2) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x + 2)$.

Поскольку многочлен $A(x)$ делится на каждый из множителей $(x - 1)$ и $(x + 2)$, он делится и на их произведение, то есть на $B(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)

Даны многочлены $A(x) = x^5 - 9x^4 + 26x^3 - 18x^2 - 27x + 27$ и $B(x) = x^2 - 4x + 3$.

Найдем корни многочлена $B(x)$, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, $B(x)$ можно разложить на множители: $B(x) = (x - 1)(x - 3)$.

Проверим, являются ли числа 1 и 3 корнями многочлена $A(x)$.
Вычислим значение $A(x)$ при $x = 1$:
$A(1) = 1^5 - 9 \cdot 1^4 + 26 \cdot 1^3 - 18 \cdot 1^2 - 27 \cdot 1 + 27 = 1 - 9 + 26 - 18 - 27 + 27 = 54 - 54 = 0$.
Так как $A(1) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x - 1)$.

Вычислим значение $A(x)$ при $x = 3$:
$A(3) = 3^5 - 9 \cdot 3^4 + 26 \cdot 3^3 - 18 \cdot 3^2 - 27 \cdot 3 + 27 = 243 - 9 \cdot 81 + 26 \cdot 27 - 18 \cdot 9 - 81 + 27 = 243 - 729 + 702 - 162 - 81 + 27 = 972 - 972 = 0$.
Так как $A(3) = 0$, то $A(x)$ делится на $(x - 3)$.

Поскольку многочлен $A(x)$ делится на каждый из множителей $(x - 1)$ и $(x - 3)$, он делится и на их произведение, то есть на $B(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.