Номер 32.13, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.13, страница 263.

Условие.

32.13. Остатки от деления многочлена $A(x)$ на двучлены $x - 3$ и $x - 1$ соответственно равны 6 и 4. Найдите остаток от деления многочлена $A(x)$ на многочлен $x^2 - 4x + 3$.

Решение.

По теореме о делении многочлена с остатком, многочлен $A(x)$ можно представить в виде:

$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$,

где $B(x)$ — делитель, $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток, причем степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$.

Также воспользуемся следствием из теоремы Безу: остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $A(c)$.

Из условия задачи нам известно:

• При делении $A(x)$ на $(x-3)$ остаток равен 6. Следовательно, $A(3) = 6$.
• При делении $A(x)$ на $(x-1)$ остаток равен 4. Следовательно, $A(1) = 4$.

Нам нужно найти остаток от деления многочлена $A(x)$ на многочлен $x^2 - 4x + 3$.

Запишем это в виде уравнения:

$A(x) = (x^2 - 4x + 3) \cdot Q(x) + R(x)$,

где $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — искомый остаток.

Степень делителя $x^2 - 4x + 3$ равна 2. Значит, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше 2, то есть остаток может быть многочленом не выше первой степени. Запишем его в общем виде: $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые коэффициенты, которые нам нужно найти.

Тогда наше уравнение принимает вид:

$A(x) = (x^2 - 4x + 3) \cdot Q(x) + ax + b$

Разложим делитель $x^2 - 4x + 3$ на множители. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

Подставим разложение в наше уравнение:

$A(x) = (x-1)(x-3) \cdot Q(x) + ax + b$

Теперь мы можем использовать известные нам значения $A(1)=4$ и $A(3)=6$. Подставим в это равенство поочередно $x=1$ и $x=3$.

Для $x=1$:

$A(1) = (1-1)(1-3) \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b$

$4 = 0 \cdot (-2) \cdot Q(1) + a + b$

$4 = a + b$

Для $x=3$:

$A(3) = (3-1)(3-3) \cdot Q(3) + a \cdot 3 + b$

$6 = 2 \cdot 0 \cdot Q(3) + 3a + b$

$6 = 3a + b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 4 \\ 3a + b = 6 \end{cases} $

Решим эту систему. Вычтем из второго уравнения первое:

$(3a + b) - (a + b) = 6 - 4$

$2a = 2$

$a = 1$

Теперь подставим найденное значение $a=1$ в первое уравнение системы:

$1 + b = 4$

$b = 3$

Мы нашли коэффициенты остатка: $a=1$ и $b=3$. Следовательно, искомый остаток $R(x) = ax + b = 1 \cdot x + 3 = x+3$.

Ответ: $x+3$