Номер 32.13, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.13, страница 263.
№32.13 (с. 263)
Условие. №32.13 (с. 263)
скриншот условия
 
                                32.13. Остатки от деления многочлена $A(x)$ на двучлены $x - 3$ и $x - 1$ соответственно равны 6 и 4. Найдите остаток от деления многочлена $A(x)$ на многочлен $x^2 - 4x + 3$.
Решение. №32.13 (с. 263)
По теореме о делении многочлена с остатком, многочлен $A(x)$ можно представить в виде:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$,
где $B(x)$ — делитель, $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток, причем степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$.
Также воспользуемся следствием из теоремы Безу: остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен значению этого многочлена в точке $c$, то есть $A(c)$.
Из условия задачи нам известно:
- При делении $A(x)$ на $(x-3)$ остаток равен 6. Следовательно, $A(3) = 6$.
- При делении $A(x)$ на $(x-1)$ остаток равен 4. Следовательно, $A(1) = 4$.
Нам нужно найти остаток от деления многочлена $A(x)$ на многочлен $x^2 - 4x + 3$.
Запишем это в виде уравнения:
$A(x) = (x^2 - 4x + 3) \cdot Q(x) + R(x)$,
где $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — искомый остаток.
Степень делителя $x^2 - 4x + 3$ равна 2. Значит, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше 2, то есть остаток может быть многочленом не выше первой степени. Запишем его в общем виде: $R(x) = ax + b$, где $a$ и $b$ — некоторые коэффициенты, которые нам нужно найти.
Тогда наше уравнение принимает вид:
$A(x) = (x^2 - 4x + 3) \cdot Q(x) + ax + b$
Разложим делитель $x^2 - 4x + 3$ на множители. Для этого найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Подставим разложение в наше уравнение:
$A(x) = (x-1)(x-3) \cdot Q(x) + ax + b$
Теперь мы можем использовать известные нам значения $A(1)=4$ и $A(3)=6$. Подставим в это равенство поочередно $x=1$ и $x=3$.
Для $x=1$:
$A(1) = (1-1)(1-3) \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b$
$4 = 0 \cdot (-2) \cdot Q(1) + a + b$
$4 = a + b$
Для $x=3$:
$A(3) = (3-1)(3-3) \cdot Q(3) + a \cdot 3 + b$
$6 = 2 \cdot 0 \cdot Q(3) + 3a + b$
$6 = 3a + b$
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 4 \\ 3a + b = 6 \end{cases} $
Решим эту систему. Вычтем из второго уравнения первое:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 4$
$2a = 2$
$a = 1$
Теперь подставим найденное значение $a=1$ в первое уравнение системы:
$1 + b = 4$
$b = 3$
Мы нашли коэффициенты остатка: $a=1$ и $b=3$. Следовательно, искомый остаток $R(x) = ax + b = 1 \cdot x + 3 = x+3$.
Ответ: $x+3$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 32.13 расположенного на странице 263 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №32.13 (с. 263), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    