Номер 32.19, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.19, страница 263.

Условие.

32.19. Упростите выражение $\sqrt{14-6\sqrt{5}} + \sqrt{14+6\sqrt{5}}$.

Решение.

Чтобы упростить выражение $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} $, необходимо преобразовать подкоренные выражения так, чтобы из них можно было извлечь квадратный корень. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата разности и квадрата суммы: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Рассмотрим первое слагаемое $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} $. Постараемся представить подкоренное выражение $ 14 - 6\sqrt{5} $ в виде полного квадрата. Для этого член $ 6\sqrt{5} $ должен соответствовать удвоенному произведению $ 2ab $. $ 6\sqrt{5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} $. Предположим, что $ a=3 $ и $ b=\sqrt{5} $. Тогда проверим, равно ли $ a^2+b^2 $ числу 14. $ a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14 $. Наше предположение верно. Следовательно, выражение $ 14 - 6\sqrt{5} $ можно представить в виде полного квадрата разности: $ 14 - 6\sqrt{5} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 - \sqrt{5})^2 $. Тогда $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}| $. Так как $ 3 = \sqrt{9} $ и $ \sqrt{9} > \sqrt{5} $, то разность $ 3 - \sqrt{5} $ является положительным числом, и модуль можно опустить: $ |3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5} $.

Аналогичные действия произведем для второго слагаемого $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} $. $ 14 + 6\sqrt{5} = 14 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} $. Используя те же значения $ a=3 $ и $ b=\sqrt{5} $, мы получаем полный квадрат суммы: $ 14 + 6\sqrt{5} = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 + \sqrt{5})^2 $. Тогда $ \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}| $. Так как сумма $ 3 + \sqrt{5} $ является положительным числом, то $ |3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5} $.

Теперь подставим полученные упрощенные значения в исходное выражение и выполним сложение: $ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = (3 - \sqrt{5}) + (3 + \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} = 6 $.

Ответ: 6