Номер 33.1, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.1, страница 267.

Условие.

33.1. Решите уравнение:

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0;$

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0;$

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0;$

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0;$

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0.$

Решение.

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$

Обозначим многочлен $P(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$. Следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен на $(x + 1)$ (например, по схеме Горнера или делением в столбик):

$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) \div (x + 1) = x^2 + 8x + 15$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x + 1)(x^2 + 8x + 15) = 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют системе: $x_1 + x_2 = -8$ $x_1 \cdot x_2 = 15$ Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.

Корни исходного уравнения: $x = -1, x = -3, x = -5$.

Ответ: $\{-5; -3; -1\}$

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Обозначим многочлен $P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$. Возможные рациональные корни по теореме о рациональных корнях: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$. Проверим $x = -1$: $P(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 2 = -2 - 1 + 5 - 2 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x + 1)$:

$(2x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x + 1) = 2x^2 - 3x - 2$.

Уравнение принимает вид: $(x + 1)(2x^2 - 3x - 2) = 0$. Решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$. $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Корни исходного уравнения: $x = -1, x = 2, x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\{-1; -0.5; 2\}$

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$

Обозначим многочлен $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2$. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}$. Проверим $x = 1$: $P(1) = 3 + 5 - 1 - 5 - 2 = 0$. Корень $x=1$. Проверим $x = -1$: $P(-1) = 3 - 5 - 1 + 5 - 2 = 0$. Корень $x=-1$. Следовательно, многочлен делится на $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Выполним деление:

$(3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2) \div (x^2 - 1) = 3x^2 + 5x + 2$.

Уравнение принимает вид: $(x - 1)(x + 1)(3x^2 + 5x + 2) = 0$. Решим квадратное уравнение $3x^2 + 5x + 2 = 0$: $D = 5^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1$. $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{6}$. $x_1 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. $x_2 = \frac{-5 - 1}{6} = -1$.

Корни исходного уравнения: $x = 1, x = -1$ (кратности 2), $x = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $\{-1; -\frac{2}{3}; 1\}$

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$

Обозначим $P(x) = 5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8$. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{4}{5}, \pm \frac{8}{5}$. Проверим $x = 1$: $P(1) = 5 + 9 - 2 - 4 - 8 = 0$. Корень $x=1$. Разделим многочлен на $(x - 1)$:

$(5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8) \div (x - 1) = 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$.

Получаем уравнение $(x-1)(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) = 0$. Обозначим $Q(x) = 5x^3 + 14x^2 + 12x + 8$. Все коэффициенты положительны, поэтому действительные корни могут быть только отрицательными. Проверим $x = -2$: $Q(-2) = 5(-8) + 14(4) + 12(-2) + 8 = -40 + 56 - 24 + 8 = 0$. Корень $x=-2$. Разделим $Q(x)$ на $(x + 2)$:

$(5x^3 + 14x^2 + 12x + 8) \div (x + 2) = 5x^2 + 4x + 4$.

Уравнение принимает вид: $(x - 1)(x + 2)(5x^2 + 4x + 4) = 0$. Решим квадратное уравнение $5x^2 + 4x + 4 = 0$: $D = 4^2 - 4(5)(4) = 16 - 80 = -64$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого квадратного трехчлена нет.

Действительные корни исходного уравнения: $x = 1, x = -2$.

Ответ: $\{-2; 1\}$

5) $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = 0$

Обозначим $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8$. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm \frac{1}{2}$. Проверим $x = -1$: $P(-1) = 2(1) - 3(-1) - 7(1) + 6(-1) + 8 = 2 + 3 - 7 - 6 + 8 = 0$. Корень $x=-1$. Проверим $x = 2$: $P(2) = 2(16) - 3(8) - 7(4) + 6(2) + 8 = 32 - 24 - 28 + 12 + 8 = 0$. Корень $x=2$. Многочлен делится на $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$. Выполним деление:

$(2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8) \div (x^2 - x - 2) = 2x^2 - x - 4$.

Уравнение принимает вид: $(x + 1)(x - 2)(2x^2 - x - 4) = 0$. Решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 4 = 0$: $D = (-1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33$. $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Корни исходного уравнения: $x = -1, x = 2, x = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, x = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$.

Ответ: $\{-1; 2; \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}\}$

6) $x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12 = 0$

Обозначим $P(x) = x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12$. Все коэффициенты положительны, значит, действительные корни могут быть только отрицательными. Возможные целые корни: $-1, -2, -3, -4, -6, -12$. Проверим $x = -2$: $P(-2) = (-2)^5 + 8(-2)^4 + 24(-2)^3 + 35(-2)^2 + 28(-2) + 12 = -32 + 128 - 192 + 140 - 56 + 12 = 0$. Корень $x=-2$. Проверим кратность корня, найдя производную $P'(x) = 5x^4 + 32x^3 + 72x^2 + 70x + 28$. $P'(-2) = 5(16) + 32(-8) + 72(4) + 70(-2) + 28 = 80 - 256 + 288 - 140 + 28 = 0$. Так как $P(-2)=0$ и $P'(-2)=0$, корень $x=-2$ имеет кратность не менее 2. Значит, многочлен делится на $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.

Выполнив деление, получим: $(x^5 + 8x^4 + 24x^3 + 35x^2 + 28x + 12) \div (x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x + 3$.

Уравнение принимает вид $(x+2)^2 (x^3 + 4x^2 + 4x + 3) = 0$. Решим уравнение $Q(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0$. Проверим $x = -3$: $Q(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 + 4(-3) + 3 = -27 + 36 - 12 + 3 = 0$. Корень $x=-3$. Разделим $Q(x)$ на $(x+3)$:

$(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) \div (x+3) = x^2 + x + 1$.

Уравнение примет вид $(x+2)^2 (x+3) (x^2 + x + 1) = 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$: $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Действительные корни исходного уравнения: $x = -2$ (кратности 2) и $x = -3$.

Ответ: $\{-3; -2\}$