Вопросы?, страница 266 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - страница 266.

Условие.

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

Решение.

1. Какое уравнение называют целым рациональным?

Целым рациональным уравнением называется уравнение вида $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен (полином) относительно переменной $x$. В общем виде такое уравнение можно записать как: $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где $x$ — это переменная, $n$ — натуральное число или ноль (степень многочлена), а $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — числовые коэффициенты, причём $a_n \neq 0$. Название «целое» подчёркивает, что в уравнении нет деления на выражение, содержащее переменную.

Ответ: Уравнение вида $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, называется целым рациональным уравнением.

2. Каким свойством обладают целые корни целого рационального уравнения с целыми коэффициентами?

Если целое рациональное уравнение $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет целые коэффициенты ($a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \in \mathbb{Z}$) и целый корень $x=k$ (где $k \in \mathbb{Z}$), то этот корень обязательно является делителем свободного члена $a_0$.

Это свойство вытекает из следующего: если $k$ — корень, то выполняется равенство $a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k + a_0 = 0$. Перенесём все члены, кроме $a_0$, в правую часть: $a_0 = -(a_n k^n + a_{n-1} k^{n-1} + \dots + a_1 k)$. Вынесем $k$ за скобку в правой части: $a_0 = -k (a_n k^{n-1} + a_{n-1} k^{n-2} + \dots + a_1)$. Поскольку все коэффициенты $a_i$ и корень $k$ — целые числа, то выражение в скобках также является целым числом. Таким образом, правая часть делится на $k$ без остатка, а значит, и левая часть, то есть свободный член $a_0$, тоже делится на $k$.

Ответ: Любой целый корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

3. Каково соотношение между множеством делителей свободного члена целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и множеством его целых корней?

Соотношение между этими двумя множествами является отношением включения. Множество всех целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является подмножеством множества всех целых делителей его свободного члена.

Пусть $A$ — это множество целых корней уравнения, а $B$ — это множество целых делителей его свободного члена. Тогда $A \subseteq B$. Это означает, что каждый целый корень уравнения находится среди делителей свободного члена. Однако не каждый делитель свободного члена обязательно является корнем уравнения. Поэтому для нахождения целых корней достаточно проверить только делители свободного члена, что значительно сужает область поиска.

Ответ: Множество целых корней целого рационального уравнения с целыми коэффициентами является подмножеством множества целых делителей его свободного члена.