Номер 33.2, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.2, страница 267.

Условие.

33.2. Решите уравнение:

1) $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0;$

2) $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0;$

3) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0;$

4) $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0;$

5) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0;$

6) $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0.$

Решение.

1) Решим уравнение $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$.
Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена (в данном случае 2).
Проверим делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $x=1$: $1^3 + 1^2 - 4(1) + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + x^2 - 4x + 2$ на двучлен $(x-1)$ столбиком или по схеме Горнера.
$(x^3 + x^2 - 4x + 2) \div (x-1) = x^2 + 2x - 2$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде: $(x-1)(x^2 + 2x - 2) = 0$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Таким образом, получаем три корня.
Ответ: $1, -1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$.
Найдем целые корни среди делителей свободного члена 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Подставим $x=2$: $2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем. Разделим многочлен на $(x-2)$:
$(x^3 - x^2 - 8x + 12) \div (x-2) = x^2 + x - 6$.
Уравнение принимает вид: $(x-2)(x^2 + x - 6) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2, x_2 = -3$.
Можно также разложить на множители: $(x-2)(x+3) = 0$.
Исходное уравнение имеет вид: $(x-2)(x-2)(x+3) = 0$, или $(x-2)^2(x+3) = 0$.
Корнями являются $x=2$ (корень кратности 2) и $x=-3$.
Ответ: $2, -3$.

3) Решим уравнение $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$.
Так как все коэффициенты положительны, положительных корней у уравнения нет. Ищем целые корни среди отрицательных делителей свободного члена 2: $-1, -2$.
Подставим $x=-1$: $(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$.
Значит, $x=-1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^3 + 4x^2 + 5x + 2) \div (x+1) = x^2 + 3x + 2$.
Уравнение принимает вид: $(x+1)(x^2 + 3x + 2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1, x_2 = -2$.
Исходное уравнение имеет вид: $(x+1)(x+1)(x+2) = 0$, или $(x+1)^2(x+2) = 0$.
Корнями являются $x=-1$ (корень кратности 2) и $x=-2$.
Ответ: $-1, -2$.

4) Решим уравнение $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ищем целые корни среди делителей свободного члена 1: $\pm 1$.
Подставим $x=1$: $1^4 + 4(1)^3 - 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 1 + 4 - 2 - 4 + 1 = 0$.
Подставим $x=-1$: $(-1)^4 + 4(-1)^3 - 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 1 - 4 - 2 + 4 + 1 = 0$.
Значит, $x=1$ и $x=-1$ являются корнями. Следовательно, многочлен делится на $(x-1)(x+1) = x^2-1$.
Выполним деление: $(x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1) \div (x^2-1) = x^2 + 4x - 1$.
Уравнение принимает вид: $(x^2-1)(x^2 + 4x - 1) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.
Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.
Корни исходного уравнения: $x=\pm 1$ и $x = -2 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: $1, -1, -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$.

5) Решим уравнение $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$.
Ищем целые корни среди делителей свободного члена 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Подставим $x=1$: $1^4 + 2(1)^3 - 11(1)^2 + 4(1) + 4 = 1 + 2 - 11 + 4 + 4 = 0$.
Подставим $x=2$: $2^4 + 2(2)^3 - 11(2)^2 + 4(2) + 4 = 16 + 16 - 44 + 8 + 4 = 0$.
Значит, $x=1$ и $x=2$ являются корнями. Следовательно, многочлен делится на $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
Выполним деление: $(x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4) \div (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 5x + 2$.
Уравнение принимает вид: $(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 2) = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(2) = 25 - 8 = 17$.
Корни: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Корни исходного уравнения: $x=1, x=2$ и $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $1, 2, \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$.

6) Решим уравнение $3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10 = 0$.
Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ - делитель 10, а $q$ - делитель 3.
Проверим целые делители $\pm 1, \pm 2, \dots$.
Подставим $x=1$: $3(1)^4 + 5(1)^3 - 9(1)^2 - 9(1) + 10 = 3 + 5 - 9 - 9 + 10 = 0$.
Подставим $x=-2$: $3(-2)^4 + 5(-2)^3 - 9(-2)^2 - 9(-2) + 10 = 3(16) + 5(-8) - 9(4) + 18 + 10 = 48 - 40 - 36 + 18 + 10 = 0$.
Значит, $x=1$ и $x=-2$ являются корнями. Следовательно, многочлен делится на $(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$.
Выполним деление: $(3x^4 + 5x^3 - 9x^2 - 9x + 10) \div (x^2 + x - 2) = 3x^2 + 2x - 5$.
Уравнение принимает вид: $(x^2 + x - 2)(3x^2 + 2x - 5) = 0$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 + 2x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}$.
$x_1 = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$x_2 = \frac{-2-8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Корни исходного уравнения: $x=1$ (корень кратности 2), $x=-2$ и $x = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $1, -2, -\frac{5}{3}$.