Вопросы?, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - страница 279.

Условие.

1. Какие выводы называют индуктивными?

2. Как называют две теоремы, из которых состоит доказательство методом математической индукции?

Решение.

1. Какие выводы называют индуктивными?

Индуктивными выводами (или индуктивными умозаключениями) называют способ рассуждения, при котором общий вывод делается на основе рассмотрения частных, единичных случаев. Этот метод логического вывода позволяет получить вероятностное знание, переходя от частных посылок к общему заключению. Например, наблюдая, что несколько лебедей, которых мы видели, белые, можно сделать индуктивный вывод, что все лебеди белые. Однако, в отличие от дедукции, где истинность посылок гарантирует истинность вывода, индуктивный вывод не всегда является достоверным (существование черных лебедей опровергает этот пример). В математике этот принцип формализован в виде метода математической индукции, который позволяет делать строгие и достоверные выводы.

Ответ: Индуктивными выводами называют общие заключения, которые делаются на основе наблюдений за рядом частных случаев.

2. Как называют две теоремы, из которых состоит доказательство методом математической индукции?

Доказательство методом математической индукции состоит из двух ключевых частей, которые можно условно назвать теоремами или шагами. Эти части должны быть выполнены, чтобы доказать утверждение для всех натуральных чисел $n$, начиная с некоторого начального значения $n_0$.

1. Базис индукции (или база индукции). Это первый шаг доказательства. На этом этапе проверяется истинность доказываемого утверждения для самого первого, начального значения. Обычно это $n=1$ или $n=0$. То есть, необходимо доказать, что утверждение $P(n)$ верно для $n=n_0$.
2. Индукционный переход (или шаг индукции). Это второй, основной шаг. Здесь доказывается, что если утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа $k \geq n_0$, то оно будет верно и для следующего за ним числа $k+1$. Предположение о том, что утверждение верно для $n=k$, называется индукционным предположением. Таким образом, на этом шаге доказывается импликация: $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ для всех $k \geq n_0$.

Успешное доказательство обоих этих шагов позволяет сделать вывод, что утверждение $P(n)$ верно для всех натуральных чисел $n \geq n_0$.

Ответ: Первая теорема (шаг) называется базис (или база) индукции, а вторая — индукционный переход (или шаг индукции).