Номер 34.6, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.6, страница 279.

Условие.

34.6. Выведите формулу для вычисления значения суммы

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$, где $n \in N$.

Решение.

Для того чтобы вывести формулу для вычисления значения указанной суммы, воспользуемся методом разложения общего члена ряда на простейшие дроби. Обозначим сумму через $S_n$.

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$

Общий член этой суммы (k-й член) имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$.

Представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде разности двух дробей. Заметим, что разность множителей в знаменателе равна $(2k + 1) - (2k - 1) = 2$. Это позволяет нам использовать следующий прием:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2k + 1) - (2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)}$

Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{1}{2} \left( \frac{2k + 1}{(2k - 1)(2k + 1)} - \frac{2k - 1}{(2k - 1)(2k + 1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Таким образом, мы разложили общий член ряда на разность двух дробей. Теперь мы можем переписать всю сумму, подставив это выражение для каждого слагаемого:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем слагаемые этой суммы, чтобы увидеть закономерность:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 1 + 1}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 2 + 1}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 3 + 1}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right) \right]$

Это так называемая "телескопическая сумма". В ней все внутренние члены взаимно уничтожаются: второе слагаемое в каждой скобке ($-\frac{1}{2k+1}$) сокращается с первым слагаемым в следующей скобке ($+\frac{1}{2(k+1)-1} = +\frac{1}{2k+1}$).

В результате раскрытия всех скобок останутся только первое слагаемое из первой пары и последнее слагаемое из последней пары:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Теперь упростим выражение в скобках:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1}$

Сократив на 2, получим окончательную формулу:

$S_n = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $\frac{n}{2n + 1}$