Номер 34.11, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.11, страница 280.

Условие.

34.11. Докажите, что для любого натурального n:

1) $(3^{2n+1} + 2^{n+2}) : 7;$

2) $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}) : 17;$

3) $(4^n + 15n - 1) : 9;$

4) $(5^n - 3^n + 2n) : 4.$

Решение.

1) Докажем, что $(3^{2n+1} + 2^{n+2})$ делится на 7 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $A(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$:
$A(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$.
Так как $35 = 5 \cdot 7$, то 35 делится на 7. Утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = (3^{2k+1} + 2^{k+2})$ делится на 7.
Это означает, что существует целое число $m$, такое что $3^{2k+1} + 2^{k+2} = 7m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = (3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2})$ делится на 7.
$A(k+1) = 3^{2k+3} + 2^{k+3} = 3^2 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2}$.
Преобразуем выражение, чтобы использовать предположение индукции:
$A(k+1) = 9 \cdot 3^{2k+1} + 9 \cdot 2^{k+2} - 7 \cdot 2^{k+2} = 9(3^{2k+1} + 2^{k+2}) - 7 \cdot 2^{k+2}$.
По предположению индукции, $(3^{2k+1} + 2^{k+2})$ делится на 7. Следовательно, $9(3^{2k+1} + 2^{k+2})$ делится на 7. Выражение $7 \cdot 2^{k+2}$ также очевидно делится на 7. Разность двух чисел, делящихся на 7, также делится на 7.
Подставляя $3^{2k+1} + 2^{k+2} = 7m$, получаем:
$A(k+1) = 9(7m) - 7 \cdot 2^{k+2} = 7(9m - 2^{k+2})$.
Так как $m$ и $k$ — натуральные числа, то $(9m - 2^{k+2})$ — целое число. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 7.

Заключение:
Мы доказали базу индукции и шаг индукции. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

2) Докажем, что $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1})$ делится на 17 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $A(n) = 6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$:
$A(1) = 6^{2(1)} + 19^1 - 2^{1+1} = 36 + 19 - 4 = 51$.
Так как $51 = 3 \cdot 17$, то 51 делится на 17. Утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = (6^{2k} + 19^k - 2^{k+1})$ делится на 17.
Это означает, что существует целое число $m$, такое что $6^{2k} + 19^k - 2^{k+1} = 17m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = (6^{2(k+1)} + 19^{k+1} - 2^{(k+1)+1})$ делится на 17.
$A(k+1) = 6^{2k+2} + 19^{k+1} - 2^{k+2} = 36 \cdot 6^{2k} + 19 \cdot 19^k - 2 \cdot 2^{k+1}$.
Преобразуем выражение:
$A(k+1) = 36(6^{2k} + 19^k - 2^{k+1}) - 36 \cdot 19^k + 36 \cdot 2^{k+1} + 19 \cdot 19^k - 2 \cdot 2^{k+1}$
$= 36(6^{2k} + 19^k - 2^{k+1}) - (36-19) \cdot 19^k + (36-2) \cdot 2^{k+1}$
$= 36(6^{2k} + 19^k - 2^{k+1}) - 17 \cdot 19^k + 34 \cdot 2^{k+1}$.
Первое слагаемое $36(6^{2k} + 19^k - 2^{k+1})$ делится на 17 по предположению индукции. Второе слагаемое $-17 \cdot 19^k$ делится на 17. Третье слагаемое $34 \cdot 2^{k+1} = 2 \cdot 17 \cdot 2^{k+1}$ также делится на 17. Сумма трех выражений, делящихся на 17, делится на 17.
Подставляя $6^{2k} + 19^k - 2^{k+1} = 17m$, получаем:
$A(k+1) = 36(17m) - 17 \cdot 19^k + 34 \cdot 2^{k+1} = 17(36m - 19^k + 2 \cdot 2^{k+1})$.
Следовательно, $A(k+1)$ делится на 17.

Заключение:
Мы доказали базу индукции и шаг индукции. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

3) Докажем, что $(4^n + 15n - 1)$ делится на 9 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $A(n) = 4^n + 15n - 1$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$:
$A(1) = 4^1 + 15(1) - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.
Так как $18 = 2 \cdot 9$, то 18 делится на 9. Утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = (4^k + 15k - 1)$ делится на 9.
Это означает, что существует целое число $m$, такое что $4^k + 15k - 1 = 9m$. Отсюда $4^k = 9m - 15k + 1$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = (4^{k+1} + 15(k+1) - 1)$ делится на 9.
$A(k+1) = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.
Подставим выражение для $4^k$ из предположения индукции:
$A(k+1) = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14$
$= 36m - 45k + 18 = 9(4m - 5k + 2)$.
Так как $m$ и $k$ — натуральные числа, то $(4m - 5k + 2)$ — целое число. Следовательно, $A(k+1)$ делится на 9.

Заключение:
Мы доказали базу индукции и шаг индукции. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.

4) Докажем, что $(5^n - 3^n + 2n)$ делится на 4 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

Пусть $A(n) = 5^n - 3^n + 2n$.

База индукции:
Проверим утверждение для $n=1$:
$A(1) = 5^1 - 3^1 + 2(1) = 5 - 3 + 2 = 4$.
Так как $4 = 1 \cdot 4$, то 4 делится на 4. Утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции:
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = (5^k - 3^k + 2k)$ делится на 4.
Это означает, что существует целое число $m$, такое что $5^k - 3^k + 2k = 4m$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = (5^{k+1} - 3^{k+1} + 2(k+1))$ делится на 4.
$A(k+1) = 5 \cdot 5^k - 3 \cdot 3^k + 2k + 2$.
Преобразуем выражение:
$A(k+1) = 5(5^k - 3^k + 2k) + 5 \cdot 3^k - 5 \cdot 2k - 3 \cdot 3^k + 2k + 2$
$= 5(5^k - 3^k + 2k) + (5-3) \cdot 3^k + (-10+2)k + 2$
$= 5(4m) + 2 \cdot 3^k - 8k + 2 = 20m - 8k + 2(3^k + 1)$.
Первое слагаемое $20m$ и второе слагаемое $-8k$ делятся на 4. Рассмотрим слагаемое $2(3^k+1)$.
Поскольку 3 — нечетное число, то любая его натуральная степень $3^k$ также является нечетным числом. Сумма нечетного числа $3^k$ и единицы является четным числом, то есть $3^k+1=2j$ для некоторого целого $j$.
Тогда $2(3^k+1) = 2(2j) = 4j$, что делится на 4.
Таким образом, $A(k+1) = 20m - 8k + 4j = 4(5m - 2k + j)$, а значит, $A(k+1)$ делится на 4.

Заключение:
Мы доказали базу индукции и шаг индукции. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.
Ответ: Доказано.