Номер 34.7, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.7, страница 279.

Условие.

34.7. Выведите формулу для вычисления значения суммы $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Решение.

Для вывода формулы воспользуемся методом, основанным на представлении каждого слагаемого суммы в виде разности двух дробей. Это позволит нам преобразовать исходную сумму в так называемую телескопическую сумму, в которой большинство слагаемых взаимно уничтожится.

Рассмотрим общий член суммы, который имеет вид $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$, где $k$ — натуральное число, принимающее значения от $1$ до $n$.

Представим дробь $\frac{1}{k(k+1)}$ в виде разности двух дробей с числителями $1$ и знаменателями $k$ и $k+1$. Для этого воспользуемся тождеством:

$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$

Таким образом, каждый член исходной суммы можно представить в виде разности:

$a_k = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Теперь запишем всю сумму, используя это разложение для каждого слагаемого:

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

$S_n = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

В этой развернутой записи видно, что второе слагаемое в каждой скобке (со знаком "минус") уничтожается с первым слагаемым в следующей скобке (со знаком "плюс"). Например, $-\frac{1}{2}$ сокращается с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее.

В результате этого взаимного уничтожения остаются только первое слагаемое из первой пары (то есть $\frac{1}{1}$) и последнее слагаемое из последней пары (то есть $-\frac{1}{n+1}$):

$S_n = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю, чтобы получить окончательный вид формулы:

$S_n = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

Таким образом, формула для вычисления значения данной суммы имеет вид: $\frac{n}{n+1}$.

Ответ: $\frac{n}{n+1}$