Номер 33.3, страница 267 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 33. Целое рациональное уравнение - номер 33.3, страница 267.

Условие.

33.3. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами

$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$

имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Решение.

Пусть дано целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1:

$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$,

где коэффициенты $a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_0$ — целые числа.

Предположим, что это уравнение имеет рациональный корень $x_0$. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби:

$x_0 = \frac{p}{q}$,

где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Подставим этот корень в исходное уравнение:

$(\frac{p}{q})^n + a_{n-1}(\frac{p}{q})^{n-1} + ... + a_1(\frac{p}{q}) + a_0 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на $q^n$. Так как $q$ — натуральное число, $q \neq 0$, и это является равносильным преобразованием:

$p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + a_{n-2}p^{n-2}q^2 + ... + a_1pq^{n-1} + a_0q^n = 0$

Выразим из этого равенства слагаемое $p^n$:

$p^n = -a_{n-1}p^{n-1}q - a_{n-2}p^{n-2}q^2 - ... - a_1pq^{n-1} - a_0q^n$

Вынесем $q$ за скобки в правой части:

$p^n = -q(a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}p^{n-2}q + ... + a_1pq^{n-2} + a_0q^{n-1})$

Поскольку все коэффициенты $a_i$, а также $p$ и $q$ являются целыми числами, выражение в скобках также является целым числом. Из этого следует, что правая часть равенства делится на $q$. Следовательно, и левая часть $p^n$ должна делиться на $q$.

Теперь воспользуемся тем, что дробь $\frac{p}{q}$ была выбрана несократимой, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты (НОД$(p, q) = 1$).

Предположим, что $q > 1$. Тогда у $q$ существует хотя бы один простой делитель, назовем его $k$. Так как $p^n$ делится на $q$, то $p^n$ делится и на $k$. Но если произведение $p^n = p \cdot p \cdot ... \cdot p$ делится на простое число $k$, то и сам множитель $p$ должен делиться на $k$.

Таким образом, мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на простое число $k$. Это означает, что их наибольший общий делитель НОД$(p, q) \geq k > 1$. Однако это противоречит нашему начальному условию, что НОД$(p, q) = 1$.

Следовательно, наше предположение $q > 1$ неверно. Поскольку $q$ — натуральное число, единственной возможностью остается $q = 1$.

Раз $q=1$, то наш рациональный корень $x_0 = \frac{p}{q} = \frac{p}{1} = p$. Так как $p$ — целое число, то и корень $x_0$ является целым числом, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если приведенное (со старшим коэффициентом 1) целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом.