Номер 32.15, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.15, страница 263.

Условие.

32.15. Докажите, что:

1) выражение $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ делится нацело на выражение $a + b$;

2) выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$.

Решение.

1) Чтобы доказать, что выражение $(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$ делится нацело на выражение $a + b$, разложим его на множители. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования:

$(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = $
Сгруппируем слагаемые: $((a + b) + c)(ab + c(a + b)) - abc$.
Раскроем скобки, считая $(a + b)$ единым целым:
$= (a + b)(ab + c(a + b)) + c(ab + c(a + b)) - abc = $
$= (a + b)(ab + ac + bc) + abc + c^2(a + b) - abc = $
Взаимно уничтожим $abc$ и $-abc$:
$= (a + b)(ab + ac + bc) + c^2(a + b) = $
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$= (a + b)(ab + ac + bc + c^2) = $
Сгруппируем слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители:
$= (a + b)((ab + bc) + (ac + c^2)) = (a + b)(b(a + c) + c(a + c)) = $
Вынесем общий множитель $(a + c)$:
$= (a + b)(b + c)(a + c)$.

Поскольку исходное выражение можно представить в виде произведения $(a + b)(b + c)(a + c)$, оно содержит множитель $(a + b)$, а значит, делится на него нацело, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$, покажем, что оно раскладывается на множители, один из которых равен $x + y + z$. Для этого докажем тождество:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

Доказательство проведем путем раскрытия скобок в правой части тождества:

$(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = $
$= x(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + y(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + z(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = $
$= (x^3 + xy^2 + xz^2 - x^2y - xyz - zx^2) + (x^2y + y^3 + yz^2 - xy^2 - y^2z - xyz) + (x^2z + y^2z + z^3 - xyz - yz^2 - zx^2)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= x^3 + y^3 + z^3 + (xy^2 - xy^2) + (xz^2 - zx^2) + (-x^2y + x^2y) + (-y^2z + y^2z) + (yz^2 - yz^2) + (-zx^2 + x^2z) - xyz - xyz - xyz = $
$= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$.

Так как правая часть тождества после преобразований оказалась равна левой, тождество доказано. Поскольку выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ представлено в виде произведения, где один из сомножителей равен $(x + y + z)$, оно делится на $(x + y + z)$ нацело.

Ответ: Доказано.