Номер 32.8, страница 262 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.8, страница 262.

Условие.

32.8. При каких значениях параметра $b$ многочлен $x^3 + 3x^2 - bx + 6$ делится нацело на двучлен $x + 2$?

Решение.

Для того чтобы многочлен $P(x) = x^3 + 3x^2 - bx + 6$ делился нацело на двучлен $x + 2$, необходимо и достаточно, чтобы корень двучлена $x + 2$ был также корнем многочлена $P(x)$. Это следует из теоремы Безу (или теоремы об остатке).

Найдем корень двучлена $x + 2$:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Теперь подставим этот корень $x = -2$ в исходный многочлен и приравняем его к нулю, так как по условию деление должно быть без остатка:

$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - b(-2) + 6 = 0$

Выполним вычисления:

$(-2)^3 = -8$

$3(-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

$-b(-2) = 2b$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$-8 + 12 + 2b + 6 = 0$

Сложим числовые коэффициенты:

$4 + 2b + 6 = 0$

$10 + 2b = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно параметра $b$:

$2b = -10$

$b = \frac{-10}{2}$

$b = -5$

Ответ: $b = -5$.