Номер 32.12, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.12, страница 263.
№32.12 (с. 263)
Условие. №32.12 (с. 263)
скриншот условия
 
                                32.12. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + ab$ при делении на $x - 2$ даёт в остатке 15, а при делении на $x + 1$ даёт в остатке 0?
Решение. №32.12 (с. 263)
Обозначим многочлен как $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.
1. Условие деления на $x-2$
По условию, при делении многочлена $P(x)$ на $x-2$ остаток равен 15. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(2) = 15$.
Подставим $x=2$ в выражение для многочлена:
$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + b(2) + ab = 8 + 4a + 2b + ab$.
Приравниваем полученное выражение к 15:
$8 + 4a + 2b + ab = 15$
$4a + 2b + ab = 7$
Это первое уравнение для нахождения $a$ и $b$.
2. Условие деления на $x+1$
По условию, при делении многочлена $P(x)$ на $x+1$ (то есть на $x-(-1)$) остаток равен 0. Это означает, что $P(-1) = 0$.
Подставим $x=-1$ в выражение для многочлена:
$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + ab = -1 + a - b + ab$.
Приравниваем полученное выражение к 0:
$-1 + a - b + ab = 0$
$a - b + ab = 1$
Это второе уравнение для нахождения $a$ и $b$.
3. Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 4a + 2b + ab = 7 \\ a - b + ab = 1 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $ab$:
$(4a + 2b + ab) - (a - b + ab) = 7 - 1$
$4a + 2b + ab - a + b - ab = 6$
$3a + 3b = 6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$a + b = 2$
Из этого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 2 - a$.
Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы ($a - b + ab = 1$):
$a - (2 - a) + a(2 - a) = 1$
$a - 2 + a + 2a - a^2 = 1$
$-a^2 + 4a - 2 = 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$-a^2 + 4a - 3 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$a^2 - 4a + 3 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить, найдя его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$.
Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого найденного значения $a$, используя формулу $b = 2 - a$:
Если $a_1 = 1$, то $b_1 = 2 - 1 = 1$.
Если $a_2 = 3$, то $b_2 = 2 - 3 = -1$.
Таким образом, существуют две пары значений параметров $(a, b)$, удовлетворяющие условиям задачи.
Ответ: $a=1, b=1$ или $a=3, b=-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 32.12 расположенного на странице 263 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №32.12 (с. 263), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    