Номер 32.12, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 32. Корни многочлена. Теорема Безу - номер 32.12, страница 263.

Условие.

32.12. При каких значениях параметров $a$ и $b$ многочлен $x^3 + ax^2 + bx + ab$ при делении на $x - 2$ даёт в остатке 15, а при делении на $x + 1$ даёт в остатке 0?

Решение.

Обозначим многочлен как $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x-c$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $P(c)$.

1. Условие деления на $x-2$

По условию, при делении многочлена $P(x)$ на $x-2$ остаток равен 15. Согласно теореме Безу, это означает, что $P(2) = 15$.

Подставим $x=2$ в выражение для многочлена:

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 + b(2) + ab = 8 + 4a + 2b + ab$.

Приравниваем полученное выражение к 15:

$8 + 4a + 2b + ab = 15$

$4a + 2b + ab = 7$

Это первое уравнение для нахождения $a$ и $b$.

2. Условие деления на $x+1$

По условию, при делении многочлена $P(x)$ на $x+1$ (то есть на $x-(-1)$) остаток равен 0. Это означает, что $P(-1) = 0$.

Подставим $x=-1$ в выражение для многочлена:

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + ab = -1 + a - b + ab$.

Приравниваем полученное выражение к 0:

$-1 + a - b + ab = 0$

$a - b + ab = 1$

Это второе уравнение для нахождения $a$ и $b$.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 4a + 2b + ab = 7 \\ a - b + ab = 1 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена $ab$:

$(4a + 2b + ab) - (a - b + ab) = 7 - 1$

$4a + 2b + ab - a + b - ab = 6$

$3a + 3b = 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a + b = 2$

Из этого уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 2 - a$.

Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы ($a - b + ab = 1$):

$a - (2 - a) + a(2 - a) = 1$

$a - 2 + a + 2a - a^2 = 1$

$-a^2 + 4a - 2 = 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-a^2 + 4a - 3 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, найдя его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого найденного значения $a$, используя формулу $b = 2 - a$:

Если $a_1 = 1$, то $b_1 = 2 - 1 = 1$.

Если $a_2 = 3$, то $b_2 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, существуют две пары значений параметров $(a, b)$, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $a=1, b=1$ или $a=3, b=-1$.