Вопросы?, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - страница 288.

Условие.

1. Сформулируйте правило суммы.

2. Сформулируйте правило произведения.

3. Какое множество называют упорядоченным?

4. Что называют перестановкой конечного множества?

5. С помощью какой формулы можно найти количество перестановок $n$-элементного множества?

Решение.

1. Сформулируйте правило суммы.

Если некоторый объект A можно выбрать $m$ способами, а другой объект B можно выбрать $n$ способами, причем выборы A и B являются взаимоисключающими (то есть эти выборы не могут быть сделаны одновременно), то выбор «либо A, либо B» можно осуществить $m+n$ способами.

На языке теории множеств это правило формулируется так: если множества A и B не пересекаются ($A \cap B = \emptyset$), то количество элементов в их объединении равно сумме количеств элементов в каждом из множеств: $|A \cup B| = |A| + |B|$.

Ответ: Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить $m$ способами, а другое — $n$ способами, то выполнить одно любое из этих действий можно $m+n$ способами.

2. Сформулируйте правило произведения.

Если некоторое действие (или объект) A можно выполнить $m$ способами, и после каждого такого выполнения другое действие B можно выполнить $n$ способами, то оба эти действия в указанной последовательности можно выполнить $m \cdot n$ способами.

Это правило обобщается на любое конечное число действий. Если нужно последовательно выполнить $k$ действий, и первое можно выполнить $n_1$ способами, второе — $n_2$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то вся последовательность действий может быть выполнена $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ способами.

Ответ: Если объект A можно выбрать $m$ способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то пару объектов (A, B) можно выбрать $m \cdot n$ способами.

3. Какое множество называют упорядоченным?

Упорядоченным множеством называют такое конечное множество, в котором каждому элементу поставлен в соответствие уникальный порядковый номер. Иными словами, это множество, для элементов которого важен не только их состав, но и порядок их следования.

Например, если мы рассматриваем $\{a, b, c\}$ как упорядоченное множество, то последовательности $(a, b, c)$ и $(b, a, c)$ являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов.

Ответ: Упорядоченным называют множество, для каждого элемента которого указан его порядковый номер.

4. Что называют перестановкой конечного множества?

Перестановкой конечного множества, состоящего из $n$ элементов, называют любое упорядоченное множество, образованное из всех элементов исходного множества. Каждая перестановка представляет собой один из возможных способов упорядочить элементы данного множества.

Например, для множества $\{1, 2, 3\}$ перестановками являются упорядоченные наборы (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) и (3, 2, 1).

Ответ: Перестановкой конечного множества называют любое упорядоченное множество, которое можно получить, расположив все элементы данного множества в определенном порядке.

5. С помощью какой формулы можно найти количество перестановок n-элементного множества?

Количество всех возможных перестановок для множества, содержащего $n$ различных элементов, обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториала.

Формула имеет вид:
$P_n = n!$

Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$
Также по определению принимается, что $0! = 1$.

Ответ: Количество перестановок n-элементного множества находится по формуле $P_n = n!$.