Номер 35.1, страница 288 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 35. Основные правила комбинаторики. Перестановки - номер 35.1, страница 288.

Условие.

35.1. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг?

Решение.

35.1. Эта задача о нахождении количества способов расположить 7 различных книг на полке. Поскольку все книги различны и порядок их расположения имеет значение, данная задача сводится к нахождению числа перестановок из 7 элементов.

Количество перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле факториала:
$P_n = n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$

В нашем случае $n=7$, так как имеется 7 книг. Следовательно, количество способов их расстановки равно $7!$.

Рассуждая последовательно, можно применить правило умножения в комбинаторике:
- на первое место на полке можно поставить любую из 7 книг (7 вариантов);
- на второе место — любую из оставшихся 6 книг (6 вариантов);
- на третье место — любую из оставшихся 5 книг (5 вариантов);
- на четвертое место — 4 варианта;
- на пятое место — 3 варианта;
- на шестое место — 2 варианта;
- на седьмое, последнее, место — оставшуюся 1 книгу (1 вариант).

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места:
$N = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7!$

Теперь вычислим значение $7!$:
$7! = 5040$
Таким образом, существует 5040 способов расставить 7 различных книг на полке.
Ответ: 5040