Номер 34.22, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 34. Метод математической индукции - номер 34.22, страница 280.

Условие.

34.22. Решите уравнение $\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 2x + 1} = 3$.

Решение.

Преобразуем выражения под знаками корня, заметив, что они являются полными квадратами:

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Тогда исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$\sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(x + 1)^2} = 3$

Воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Уравнение примет вид:

$|x - 2| + |x + 1| = 3$

Для решения уравнения с модулями рассмотрим несколько случаев, раскрывая модули на разных промежутках числовой прямой. Контрольные точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $x = 2$ и $x = -1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

1. Рассмотрим промежуток $x < -1$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x - 2 < 0$ и $x + 1 < 0$. Поэтому при раскрытии модулей меняем знаки на противоположные:

$-(x - 2) - (x + 1) = 3$

$-x + 2 - x - 1 = 3$

$-2x + 1 = 3$

$-2x = 2$

$x = -1$

Полученное значение $x = -1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -1$, значит, на этом промежутке решений нет.

2. Рассмотрим промежуток $-1 \le x < 2$.

На этом промежутке выражение $x - 2$ отрицательно ($x - 2 < 0$), а выражение $x + 1$ неотрицательно ($x + 1 \ge 0$). Раскрываем модули с учетом их знаков:

$-(x - 2) + (x + 1) = 3$

$-x + 2 + x + 1 = 3$

$3 = 3$

Мы получили верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это означает, что все значения $x$ из промежутка $[-1; 2)$ являются решениями уравнения.

3. Рассмотрим промежуток $x \ge 2$.

На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x - 2 \ge 0$ и $x + 1 > 0$. Раскрываем модули, сохраняя знаки:

$(x - 2) + (x + 1) = 3$

$2x - 1 = 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Полученное значение $x = 2$ принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 2$, следовательно, оно является решением.

Теперь объединим все найденные решения. Из второго случая мы получили промежуток $[-1; 2)$, а из третьего — число $x = 2$. Объединяя эти множества, получаем отрезок $[-1; 2]$.

Ответ: $[-1; 2]$.