Номер 3, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Общее правило: Допустимыми значениями переменных (областью определения) для дробных выражений являются все те значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю, так как деление на нуль не имеет смысла.

а) $\frac{6x - 3}{10}$

Решение:
В знаменателе дроби стоит число $10$. Так как знаменатель не содержит переменной и никогда не обращается в ноль ($10 \neq 0$), выражение имеет смысл при любых значениях переменной.
Ответ: $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$).

б) $\frac{2x}{x - x^2}$

Решение:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $$x - x^2 \neq 0$$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$x(1 - x) \neq 0$$ Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю: $$x \neq 0 \quad \text{и} \quad 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$$ Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

в) $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$

Решение:
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$a^2 + 1 \neq 0$$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то выражение $a^2 + 1 \ge 1$, то есть знаменатель строго больше нуля при любых значениях переменной $a$ и никогда не обращается в ноль.
Ответ: $a$ — любое число ($a \in \mathbb{R}$).

г) $\frac{3}{b} + \frac{b}{2b + 1}$

Решение:
В выражении присутствуют две дроби, следовательно, каждый из знаменателей должен быть отличен от нуля: $$b \neq 0$$ $$2b + 1 \neq 0 \implies 2b \neq -1 \implies b \neq -\frac{1}{2} \; (-0{,}5)$$ Оба условия должны выполняться одновременно.
Ответ: $b \neq -0{,}5$ и $b \neq 0$.