Номер 3, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Допустимыми значениями переменных (областью определения) для рациональных выражений являются все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю, поскольку деление на ноль не имеет смысла.

а) Выражение: $\frac{5a - 4}{9}$
Решение: В знаменателе данной дроби стоит число $9$. Знаменатель не содержит переменной и ни при каких условиях не обращается в ноль ($9 \neq 0$).
Ответ: $a$ — любое число ($a \in \mathbb{R}$).

б) Выражение: $\frac{3a}{2a + a^2}$
Решение: Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$$2a + a^2 \neq 0$$ Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$$a(2 + a) \neq 0$$ Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю:
$$a \neq 0 \quad \text{и} \quad 2 + a \neq 0 \implies a \neq -2$$ Ответ: $a$ — любое число, кроме $-2$ и $0$ ($a \neq -2$; $a \neq 0$).

в) Выражение: $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 5}$
Решение: Знаменатель не должен равняться нулю:
$$x^2 + 5 \neq 0$$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то при прибавлении положительного числа $5$ значение выражения всегда строго больше нуля ($x^2 + 5 \ge 5 > 0$). Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Ответ: $x$ — любое число ($x \in \mathbb{R}$).

г) Выражение: $\frac{7}{y} - \frac{2y}{y - 3}$
Решение: Выражение представляет собой разность двух дробей, поэтому знаменатель каждой из них не должен быть равен нулю одновременно:
$$\begin{cases} y \neq 0 \\ y - 3 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \neq 0 \\ y \neq 3 \end{cases}$$ Ответ: $y$ — любое число, кроме $0$ и $3$ ($y \neq 0$; $y \neq 3$).