Номер 2, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) Найти значение выражения: $\frac{3^{27}}{9^{12}}$

Решение:

Для вычисления значения дроби приведём степени к одинаковому основанию $3$. Запишем число $9$ в виде степени с основанием $3$:

$$9 = 3^2$$

Подставим это значение в знаменатель дроби и применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{2 \cdot 12} = 3^{24}$$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$:

$$\frac{3^{27}}{9^{12}} = \frac{3^{27}}{3^{24}} = 3^{27 - 24} = 3^3$$

Вычислим итоговое значение:

$$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$$

Ответ: $27$

б) Найти значение выражения: $\frac{125^{11}}{25^{17}}$

Решение:

Приведём степени в числителе и знаменателе к общему основанию $5$. Представим числа $125$ и $25$ как степени с основанием $5$:

$$125 = 5^3$$

$$25 = 5^2$$

Преобразуем числитель и знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$125^{11} = (5^3)^{11} = 5^{3 \cdot 11} = 5^{33}$$

$$25^{17} = (5^2)^{17} = 5^{2 \cdot 17} = 5^{34}$$

Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним деление степеней с одинаковыми основаниями:

$$\frac{125^{11}}{25^{17}} = \frac{5^{33}}{5^{34}} = 5^{33 - 34} = 5^{-1}$$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем ответ в виде обыкновенной или десятичной дроби:

$$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Ответ: $\frac{1}{5}$ (или $0{,}2$)