Номер 1, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

а) $\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) : \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$

Решение:

Выполним вычисления по действиям.

1. Выполним вычитание дробей в первых скобках, приведя их к общему знаменателю $ab$:

$$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a - b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$$

2. Выполним сложение дробей во вторых скобках, приведя их к общему знаменателю $ab$:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b + 1 \cdot a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$$

3. Выполним деление результатов. Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и заменим деление умножением на взаимно обратную дробь:

$$\frac{a^2 - b^2}{ab} : \frac{a + b}{ab} = \frac{(a - b)(a + b)}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b}$$

Сократим дробь на общий множитель $ab$ и на выражение $(a + b)$:

$$\frac{(a - b)\cancel{(a + b)}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{a + b}} = a - b$$

Ответ: $a - b$

б) $\frac{c - 3}{4 - c} \cdot \left(c - \frac{c}{c - 3}\right)$

Решение:

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Представим целое выражение $c$ в виде дроби со знаменателем $1$ и приведем к общему знаменателю $(c - 3)$:

$$c - \frac{c}{c - 3} = \frac{c(c - 3) - c}{c - 3} = \frac{c^2 - 3c - c}{c - 3} = \frac{c^2 - 4c}{c - 3}$$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки в числителе:

$$\frac{c^2 - 4c}{c - 3} = \frac{c(c - 4)}{c - 3}$$

2. Теперь выполним умножение дробей:

$$\frac{c - 3}{4 - c} \cdot \frac{c(c - 4)}{c - 3}$$

Заметим, что в знаменателе первой дроби стоит выражение $(4 - c)$. Вынесем минус за скобки, чтобы получить $-(c - 4)$:

$$\frac{c - 3}{-(c - 4)} \cdot \frac{c(c - 4)}{c - 3} = -\frac{(c - 3) \cdot c(c - 4)}{(c - 4)(c - 3)}$$

Сократим дробь на одинаковые множители $(c - 3)$ и $(c - 4)$:

$$-\frac{\cancel{(c - 3)} \cdot c\cancel{(c - 4)}}{\cancel{(c - 4)}\cancel{(c - 3)}} = -c$$

Ответ: $-c$