Номер 2, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

2.Решение:

Для того чтобы упростить данное выражение, выполним действия по порядку: сначала сложение дробей в скобках, а затем умножение на дробь перед скобками.

Действие 1. Выполним сложение дробей в скобках:

$$\frac{y + 2}{y - 2} + \frac{y - 2}{y + 2}$$

Общим знаменателем для этих дробей будет произведение их знаменателей: $(y - 2)(y + 2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель первой дроби на $(y + 2)$, а числитель второй — на $(y - 2)$:

$$\frac{(y + 2)(y + 2) + (y - 2)(y - 2)}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{(y + 2)^2 + (y - 2)^2}{(y - 2)(y + 2)}$$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$$(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4$$

$$(y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4$$

Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$$\frac{y^2 + 4y + 4 + y^2 - 4y + 4}{(y - 2)(y + 2)} = \frac{2y^2 + 8}{(y - 2)(y + 2)}$$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе:

$$\frac{2(y^2 + 4)}{(y - 2)(y + 2)}$$

Действие 2. Выполним умножение дробей:

$$\frac{y - 2}{y^2 + 4} \cdot \frac{2(y^2 + 4)}{(y - 2)(y + 2)}$$

Запишем произведение под одну дробную черту:

$$\frac{(y - 2) \cdot 2(y^2 + 4)}{(y^2 + 4) \cdot (y - 2)(y + 2)}$$

Сократим одинаковые множители $(y - 2)$ и $(y^2 + 4)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{2}{y + 2}$$

Ответ: $\dfrac{2}{y + 2}$