Номер 1, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

а)$\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right) : \left(\frac{m}{n^2} - \frac{1}{m}\right)$

1) Сложим дроби в первых скобках, приведя их к общему знаменателю $mn$:

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n}{mn} + \frac{m}{mn} = \frac{m + n}{mn}$$

2) Выполним вычитание во вторых скобках. Общий знаменатель равен $mn^2$. Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$$\frac{m}{n^2} - \frac{1}{m} = \frac{m \cdot m - n^2}{mn^2} = \frac{m^2 - n^2}{mn^2} = \frac{(m - n)(m + n)}{mn^2}$$

3) Выполним деление, умножив первую дробь на перевёрнутую вторую дробь, и сократим одинаковые множители $(m + n)$ и $mn$:

$$\frac{m + n}{mn} : \frac{(m - n)(m + n)}{mn^2} = \frac{m + n}{mn} \cdot \frac{mn^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{n}{m - n}$$

Ответ: $\frac{n}{m - n}$

б)$\frac{a - 4}{a - 5} \cdot \left(a + \frac{a}{4 - a}\right)$

1) Сложим слагаемые в скобках, приведя их к общему знаменателю $(4 - a)$:

$$a + \frac{a}{4 - a} = \frac{a(4 - a) + a}{4 - a} = \frac{4a - a^2 + a}{4 - a} = \frac{5a - a^2}{4 - a} = \frac{a(5 - a)}{4 - a}$$

2) Выполним умножение дробей. Вынесем знак «минус» в множителях $(5 - a)$ и $(4 - a)$, чтобы получить выражения $(a - 5)$ и $(a - 4)$ для сокращения:

$$\frac{a - 4}{a - 5} \cdot \frac{a(5 - a)}{4 - a} = \frac{a - 4}{a - 5} \cdot \frac{-a(a - 5)}{-(a - 4)} = \frac{a - 4}{a - 5} \cdot \frac{a(a - 5)}{a - 4} = a$$

Ответ: $a$