номер 2, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала действие в скобках (сложение дробей), а затем умножение.

1.Сложим дроби внутри скобок. Общим знаменателем для них является произведение $(x - 5)(x + 5)$:

$$\frac{x + 5}{x - 5} + \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{(x + 5)^2 + (x - 5)^2}{(x - 5)(x + 5)}$$

Применим формулы сокращённого умножения для квадрата суммы и квадрата разности в числителе:

$$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$$

$$(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$$

Сложим полученные многочлены и приведём подобные слагаемые:

$$\frac{x^2 + 10x + 25 + x^2 - 10x + 25}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{2x^2 + 50}{(x - 5)(x + 5)}$$

Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе:
$$\frac{2(x^2 + 25)}{(x - 5)(x + 5)}$$

2.Выполним умножение исходной дроби на полученное выражение:

$$\frac{x + 5}{x^2 + 25} \cdot \frac{2(x^2 + 25)}{(x - 5)(x + 5)}$$

Запишем всё под одну дробную черту и сократим взаимно одинаковые множители $(x^2 + 25)$ и $(x + 5)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x + 5) \cdot 2(x^2 + 25)}{(x^2 + 25) \cdot (x - 5)(x + 5)} = \frac{2}{x - 5}$$

Ответ: $\frac{2}{x - 5}$