Номер 3, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Решение:

Для упрощения данного алгебраического выражения выполним действия по порядку: сначала действие в скобках (вычитание дробей), а затем деление.

1) Выполним вычитание дробей в скобках:

$$\frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1}$$

Общим знаменателем для этих дробей будет их произведение: $(2x - 1)(2x + 1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(2x + 1)(2x + 1) - (2x - 1)(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{(2x + 1)^2 - (2x - 1)^2}{(2x - 1)(2x + 1)}$$

Раскроем скобки в числителе с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности:

$$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$$

$$(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$$

Подставим получившиеся выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$$\frac{(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + 4x - 1}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)}$$

2) Выполним деление:

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй (перевернутую):

$$\frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} : \frac{2x}{2x - 1} = \frac{8x}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{2x - 1}{2x}$$

Запишем под одну общую дробную черту и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$$\frac{8x \cdot (2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1) \cdot 2x}$$

Сократим выражение на $(2x - 1)$ и на $2x$ (так как $8x : 2x = 4$):

$$\frac{4}{2x + 1}$$

Ответ: $\frac{4}{2x + 1}$