Номер 4, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Напомним: пересечением множеств (обозначается знаком $\cap$) называется их общая часть (где на координатной прямой штриховки накладываются друг на друга), а объединением (обозначается знаком $\cup$) — совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одному из промежутков (вся заштрихованная область целиком).

а)$(-1; +\infty)$ и $(-\infty; 3)$

Решение:
Отметим на координатной прямой выколотые точки $-1$ и $3$.
Первый луч направлен от точки $-1$ вправо, а второй луч — от точки $3$ влево. Промежутки взаимно перекрываются на отрезке между числами $-1$ и $3$.
Общая часть (где присутствуют обе штриховки) находится в интервале от $-1$ до $3$. Объединение покрывает всю координатную прямую без разрывов.

Ответ:
Пересечение: $(-1; +\infty) \cap (-\infty; 3) = (-1; 3)$
Объединение: $(-1; +\infty) \cup (-\infty; 3) = (-\infty; +\infty)$

б)$(-\infty; 7)$ и $[5; +\infty)$

Решение:
Отметим на координатной прямой закрашенную точку $5$ (так как скобка квадратная) и выколотую точку $7$ (скобка круглая).
Первый луч идет от точки $7$ влево, второй — от точки $5$ вправо.
Штриховки пересекаются на участке от точки $5$ (включительно) до точки $7$ (не включая её). В совокупности промежутки покрывают всю числовую ось целиком.

Ответ:
Пересечение: $(-\infty; 7) \cap [5; +\infty) = [5; 7)$
Объединение: $(-\infty; 7) \cup [5; +\infty) = (-\infty; +\infty)$

в)$(2; +\infty)$ и $(4; +\infty)$

Решение:
Отметим на координатной прямой выколотые точки $2$ и $4$. Оба луча направлены в правую сторону к $+\infty$.
Так как число $4$ больше $2$, промежуток $(4; +\infty)$ полностью лежит внутри промежутка $(2; +\infty)$.
Значит, их общей частью является меньший промежуток, а объединением — больший промежуток.

Ответ:
Пересечение: $(2; +\infty) \cap (4; +\infty) = (4; +\infty)$
Объединение: $(2; +\infty) \cup (4; +\infty) = (2; +\infty)$

г)$(-1; 3)$ и $[2; 10)$

Решение:
Отметим на координатной прямой выколотые точки $-1$, $3$, $10$ и закрашенную точку $2$.
Первый промежуток — интервал от $-1$ до $3$. Второй промежуток начинается в точке $2$ и заканчивается в точке $10$.
Штриховки перекрываются между точками $2$ и $3$: точка $2$ входит в оба множества (скобка квадратная), а точка $3$ не входит в первое множество, поэтому она выколота.
Объединение охватывает значения от самого левого края первого промежутка (точка $-1$) до самого правого края второго промежутка (точка $10$).

Ответ:
Пересечение: $(-1; 3) \cap [2; 10) = [2; 3)$
Объединение: $(-1; 3) \cup [2; 10) = (-1; 10)$