Номер 4, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Арифметический квадратный корень $\sqrt{A}$ имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $A \ge 0$. Составим и решим неравенство для каждого пункта.

а) $\sqrt{3x - 7{,}5}$

Выражение под знаком корня должно быть больше или равно нулю:

$$3x - 7{,}5 \ge 0$$

Перенесём слагаемое без переменной в правую часть:

$$3x \ge 7{,}5$$

Разделим обе части неравенства на положительное число $3$ (знак неравенства сохраняется):

$$x \ge 2{,}5$$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \ge 2{,}5$ (или $x \in [2{,}5; +\infty)$).

б) $\sqrt{15 - 12x}$

Составим неравенство:

$$15 - 12x \ge 0$$

Перенесём число $15$ в правую часть:

$$-12x \ge -15$$

Разделим обе части на отрицательное число $-12$, сменив при этом знак неравенства на противоположный:

$$x \le \frac{-15}{-12}$$

$$x \le 1{,}25$$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \le 1{,}25$ (или $x \in (-\infty; 1{,}25]$).

в) $\sqrt{\frac{5 + 2x}{7}}$

Подкоренное выражение представляет собой дробь:

$$\frac{5 + 2x}{7} \ge 0$$

Так как знаменатель дроби равен $7$ (положительное число, $7 > 0$), вся дробь будет неотрицательной тогда и только тогда, когда её числитель неотрицателен:

$$5 + 2x \ge 0$$

$$2x \ge -5$$

Разделим обе части на $2$:

$$x \ge -2{,}5$$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \ge -2{,}5$ (или $x \in [-2{,}5; +\infty)$).

г) $\sqrt{\frac{3 - 4{,}5x}{11}}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\frac{3 - 4{,}5x}{11} \ge 0$$

Знаменатель дроби $11 > 0$, следовательно, знак выражения зависит исключительно от числителя:

$$3 - 4{,}5x \ge 0$$

$$-4{,}5x \ge -3$$

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-4{,}5$, поменяв знак неравенства на противоположный:

$$x \le \frac{-3}{-4{,}5}$$

Умножим числитель и знаменатель дроби на $10$, чтобы избавиться от десятичной дроби, и сократим её:

$$x \le \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$$

Ответ: выражение имеет смысл при $x \le \frac{2}{3}$ (или $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right]$).