Номер 3, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Арифметический квадратный корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю). Поэтому для каждого пункта необходимо составить и решить систему неравенств.

а) $\sqrt{x} - \sqrt{5x - 2}$

Составим систему неравенств для обоих подкоренных выражений:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ 5x - 2 \ge 0 \end{cases}$$

Решим второе неравенство системы:
$5x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{5}$ или $x \ge 0{,}4$.

Получаем систему:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 0{,}4 \end{cases}$$

Пересечением этих двух условий является промежуток $x \ge 0{,}4$.

Ответ: $x \ge 0{,}4$ (или $x \in [0{,}4; +\infty)$).

б) $\sqrt{3 - x} + \sqrt{4x + 1}$

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, составим систему неравенств:

$$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases}$$

Решим каждое неравенство отдельно:

• $3 - x \ge 0 \implies -x \ge -3 \implies x \le 3$ (при делении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный);
• $4x + 1 \ge 0 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$ (или $x \ge -0{,}25$).

Объединяем оба условия на числовой прямой:

$$-0{,}25 \le x \le 3$$

Ответ: $-0{,}25 \le x \le 3$ (или $x \in [-0{,}25; 3]$).