номер 3, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Арифметический квадратный корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю). Чтобы найти допустимые значения переменной для каждого выражения, составим и решим систему неравенств.

а)$\sqrt{3x - 2} - \sqrt{x}$

Решение:

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, поэтому запишем систему:

$$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$3x \ge 2$$

$$x \ge \frac{2}{3}$$

Второе неравенство уже решено: $x \ge 0$.

Найдём пересечение решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x \ge 0$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, общим решением системы будет:

$$x \ge \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad x \in \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$$

Ответ: $x \ge \frac{2}{3}$ (или $x \in \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$).

б)$\sqrt{4 - x} + \sqrt{5x + 2}$

Решение:

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, составим систему:

$$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 5x + 2 \ge 0 \end{cases}$$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $4 - x \ge 0 \implies -x \ge -4 \implies x \le 4$ (при делении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный);

2) $5x + 2 \ge 0 \implies 5x \ge -2 \implies x \ge -\frac{2}{5}$ (или $x \ge -0{,}4$).

Объединим оба условия в одно двойное неравенство:

$$-\frac{2}{5} \le x \le 4 \quad \text{или} \quad x \in \left[-\frac{2}{5}; 4\right]$$

Ответ: $-\frac{2}{5} \le x \le 4$ (или $x \in [-0{,}4; 4]$).