Номер 7, страница 58, часть 1 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Глава II. Тепловые явления. Параграф 6. Измерение удельной теплоёмкости. Уравнение теплового баланса - номер 7, страница 58.

Условие.

7. Медный брусок приводят в контакт со свинцовым бруском. Через некоторое время между брусками устанавливается тепловое равновесие. Теплопередачей с другими телами можно пренебречь. Поставьте по описанной ситуации несколько задач и решите их.

Решение.

В соответствии с условием, мы имеем два тела (медный и свинцовый бруски), которые обмениваются теплотой в изолированной системе до достижения теплового равновесия. Это означает, что количество теплоты, отданное одним телом, равно количеству теплоты, полученному другим. Это описывается уравнением теплового баланса: $Q_{отданное} + Q_{полученное} = 0$. На основе этой ситуации можно составить и решить несколько задач.

В расчетах будем использовать табличные значения удельной теплоемкости меди $c_{м} = 385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$ и свинца $c_{с} = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$.

Задача 1: Найти конечную температуру брусков, если известны их массы и начальные температуры.

Пусть медный брусок массой 1 кг, нагретый до 100 °C, привели в контакт со свинцовым бруском массой 2 кг, имеющим начальную температуру 20 °C. Какая температура установится между брусками?

Дано:

Масса медного бруска: $m_м = 1$ кг
Начальная температура медного бруска: $t_м = 100$ °C
Масса свинцового бруска: $m_с = 2$ кг
Начальная температура свинцового бруска: $t_с = 20$ °C
Удельная теплоемкость меди: $c_м = 385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость свинца: $c_с = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Найти:

Конечная температура: $t_{кон}$

Решение:
Так как система теплоизолирована, количество теплоты, отданное медным бруском при остывании, равно количеству теплоты, полученному свинцовым бруском при нагревании. Запишем уравнение теплового баланса:
$Q_{отданное} + Q_{полученное} = 0$
Медный брусок остывает, поэтому отдает теплоту: $Q_м = c_м \cdot m_м \cdot (t_{кон} - t_м)$.
Свинцовый брусок нагревается, поэтому получает теплоту: $Q_с = c_с \cdot m_с \cdot (t_{кон} - t_с)$.
Подставим выражения в уравнение теплового баланса:
$c_м \cdot m_м \cdot (t_{кон} - t_м) + c_с \cdot m_с \cdot (t_{кон} - t_с) = 0$
Раскроем скобки и выразим конечную температуру $t_{кон}$:
$c_м m_м t_{кон} - c_м m_м t_м + c_с m_с t_{кон} - c_с m_с t_с = 0$
$t_{кон} (c_м m_м + c_с m_с) = c_м m_м t_м + c_с m_с t_с$
$t_{кон} = \frac{c_м m_м t_м + c_с m_с t_с}{c_м m_м + c_с m_с}$
Подставим числовые значения:
$t_{кон} = \frac{385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 100 \text{°C} + 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 20 \text{°C}}{385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг} + 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг}}$
$t_{кон} = \frac{38500 \text{ Дж} + 5200 \text{ Дж}}{385 \frac{Дж}{\text{°C}} + 260 \frac{Дж}{\text{°C}}} = \frac{43700 \text{ Дж}}{645 \frac{Дж}{\text{°C}}} \approx 67.8 \text{ °C}$

Ответ: Установится температура приблизительно 67.8 °C.

Задача 2: Найти массу одного из брусков, если известны начальные и конечная температуры, а также масса второго бруска.

Медный брусок массой 0.5 кг, имеющий температуру 90 °C, привели в контакт со свинцовым бруском с начальной температурой 10 °C. После установления теплового равновесия их общая температура стала 25 °C. Какова масса свинцового бруска?

Дано:

Масса медного бруска: $m_м = 0.5$ кг
Начальная температура медного бруска: $t_м = 90$ °C
Начальная температура свинцового бруска: $t_с = 10$ °C
Конечная температура: $t_{кон} = 25$ °C
Удельная теплоемкость меди: $c_м = 385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость свинца: $c_с = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Найти:

Масса свинцового бруска: $m_с$

Решение:
Используем то же уравнение теплового баланса:
$c_м m_м (t_{кон} - t_м) + c_с m_с (t_{кон} - t_с) = 0$
В этом уравнении неизвестной является $m_с$. Выразим ее:
$c_с m_с (t_{кон} - t_с) = -c_м m_м (t_{кон} - t_м)$
$c_с m_с (t_{кон} - t_с) = c_м m_м (t_м - t_{кон})$
$m_с = \frac{c_м m_м (t_м - t_{кон})}{c_с (t_{кон} - t_с)}$
Подставим числовые значения:
$m_с = \frac{385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot (90 \text{°C} - 25 \text{°C})}{130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot (25 \text{°C} - 10 \text{°C})}$
$m_с = \frac{192.5 \frac{Дж}{\text{°C}} \cdot 65 \text{°C}}{130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 15 \text{°C}} = \frac{12512.5 \text{ Дж}}{1950 \frac{Дж}{кг}} \approx 6.42 \text{ кг}$

Ответ: Масса свинцового бруска приблизительно 6.42 кг.

Задача 3: Найти начальную температуру одного из брусков.

Медный брусок массой 0.8 кг привели в контакт со свинцовым бруском массой 1.2 кг, имевшим температуру 15 °C. Установившаяся температура равновесия составила 40 °C. Какой была начальная температура медного бруска?

Дано:

Масса медного бруска: $m_м = 0.8$ кг
Масса свинцового бруска: $m_с = 1.2$ кг
Начальная температура свинцового бруска: $t_с = 15$ °C
Конечная температура: $t_{кон} = 40$ °C
Удельная теплоемкость меди: $c_м = 385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость свинца: $c_с = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Найти:

Начальная температура медного бруска: $t_м$

Решение:
Снова используем уравнение теплового баланса:
$c_м m_м (t_{кон} - t_м) + c_с m_с (t_{кон} - t_с) = 0$
Теперь нам нужно выразить $t_м$.
$c_м m_м (t_{кон} - t_м) = -c_с m_с (t_{кон} - t_с)$
$t_{кон} - t_м = -\frac{c_с m_с (t_{кон} - t_с)}{c_м m_м}$
$t_м = t_{кон} + \frac{c_с m_с (t_{кон} - t_с)}{c_м m_м}$
Подставим числовые значения:
$t_м = 40 \text{°C} + \frac{130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1.2 \text{ кг} \cdot (40 \text{°C} - 15 \text{°C})}{385 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0.8 \text{ кг}}$
$t_м = 40 \text{°C} + \frac{156 \frac{Дж}{\text{°C}} \cdot 25 \text{°C}}{308 \frac{Дж}{\text{°C}}} = 40 \text{°C} + \frac{3900 \text{ Дж}}{308 \frac{Дж}{\text{°C}}}$
$t_м \approx 40 \text{°C} + 12.66 \text{°C} \approx 52.66 \text{°C}$

Ответ: Начальная температура медного бруска была приблизительно 52.7 °C.