Номер 16, страница 83, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 19. Применение закона Ома к последовательному соединению проводников - номер 16, страница 83.

Условие.

16. Выведите формулу, выражающую сопротивление $\text{R}$ участка цепи, состоящего из $\text{n}$ последовательно соединённых резисторов, через сопротивления этих резисторов $R_1, R_2, \dots, R_n$.

Решение.

Решение

Рассмотрим участок электрической цепи, который состоит из $\text{n}$ резисторов, соединенных последовательно. Сопротивления этих резисторов обозначим как $R_1, R_2, ..., R_n$. Общее сопротивление всего участка обозначим как $\text{R}$.

При последовательном соединении проводников выполняются два основных закона:

1. Сила тока $\text{I}$ во всех элементах цепи одинакова, так как заряд проходит через каждый элемент без разветвления. Таким образом:

$I = I_1 = I_2 = ... = I_n$

2. Общее напряжение $\text{U}$ на концах всего участка цепи равно сумме напряжений на каждом из последовательно соединенных элементов. Это следует из аддитивности потенциалов:

$U = U_1 + U_2 + ... + U_n$

Согласно закону Ома для участка цепи, напряжение $\text{U}$ на любом участке, сила тока $\text{I}$ в нём и его сопротивление $\text{R}$ связаны соотношением $U = I \cdot R$. Применим этот закон к каждому резистору и ко всему участку цепи в целом:

Для всего участка: $U = I \cdot R$

Для отдельных резисторов: $U_1 = I_1 \cdot R_1$, $U_2 = I_2 \cdot R_2$, ..., $U_n = I_n \cdot R_n$

Теперь подставим выражения для напряжений из закона Ома в формулу для общего напряжения:

$I \cdot R = I_1 \cdot R_1 + I_2 \cdot R_2 + ... + I_n \cdot R_n$

Учитывая, что сила тока во всех элементах одинакова ($I = I_1 = I_2 = ... = I_n$), заменим $I_1, I_2, ..., I_n$ на $\text{I}$:

$I \cdot R = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + ... + I \cdot R_n$

Вынесем общий множитель $\text{I}$ за скобки в правой части уравнения:

$I \cdot R = I \cdot (R_1 + R_2 + ... + R_n)$

Сократим обе части уравнения на $\text{I}$ (поскольку для протекания тока $I \ne 0$), и получим формулу для общего сопротивления участка цепи при последовательном соединении:

$R = R_1 + R_2 + ... + R_n$

Эта формула показывает, что общее сопротивление участка цепи, состоящего из последовательно соединенных резисторов, равно сумме сопротивлений этих резисторов.

Ответ: $R = R_1 + R_2 + ... + R_n = \sum_{i=1}^{n} R_i$.