Номер 44, страница 111, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 21. Работа и мощность электрического тока - номер 44, страница 111.

Условие.

44. Начертите схемы всех возможных соединений трёх одинаковых резисторов сопротивлением $10 \Omega$ каждый при подключении к источнику напряжения $20 \text{ V}$. Для каждого вида соединения найдите суммарную мощность в резисторах и мощность в каждом из них.

Решение.

Дано:

$R_1 = R_2 = R_3 = R = 10 \text{ Ом}$

$U = 20 \text{ В}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$P_{общ}$ - ?

$P_1, P_2, P_3$ - ? для каждого вида соединения.

Решение:

Существует четыре возможных способа соединения трех одинаковых резисторов. Рассчитаем суммарную мощность и мощность на каждом резисторе для каждой из схем.

1. Последовательное соединение

В этой схеме все три резистора ($R_1, R_2, R_3$) соединены друг за другом в одну цепь.

Общее сопротивление цепи вычисляется как сумма сопротивлений:

$R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 = 10 + 10 + 10 = 30 \text{ Ом}$

Суммарная мощность, выделяемая в цепи, находится по формуле:

$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{(20 \text{ В})^2}{30 \text{ Ом}} = \frac{400}{30} \text{ Вт} = \frac{40}{3} \text{ Вт} \approx 13.33 \text{ Вт}$

При последовательном соединении сила тока во всех участках цепи одинакова:

$I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{20 \text{ В}}{30 \text{ Ом}} = \frac{2}{3} \text{ А}$

Так как сопротивления резисторов одинаковы, мощность на каждом из них также будет одинаковой:

$P_1 = P_2 = P_3 = I^2 R = (\frac{2}{3} \text{ А})^2 \cdot 10 \text{ Ом} = \frac{4}{9} \cdot 10 = \frac{40}{9} \text{ Вт} \approx 4.44 \text{ Вт}$

Ответ: Суммарная мощность $P_{общ} \approx 13.33 \text{ Вт}$. Мощность на каждом резисторе $P_1 = P_2 = P_3 \approx 4.44 \text{ Вт}$.

2. Параллельное соединение

В этой схеме все три резистора подключены параллельно к источнику напряжения.

Общее сопротивление цепи находится из соотношения:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \text{ Ом}^{-1}$

$R_{общ} = \frac{10}{3} \text{ Ом} \approx 3.33 \text{ Ом}$

Суммарная мощность:

$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{(20 \text{ В})^2}{\frac{10}{3} \text{ Ом}} = 400 \cdot \frac{3}{10} = 120 \text{ Вт}$

При параллельном соединении напряжение на каждом резисторе равно напряжению источника: $U_1 = U_2 = U_3 = U = 20 \text{ В}$.

Мощность на каждом резисторе одинакова:

$P_1 = P_2 = P_3 = \frac{U^2}{R} = \frac{(20 \text{ В})^2}{10 \text{ Ом}} = \frac{400}{10} = 40 \text{ Вт}$

Ответ: Суммарная мощность $P_{общ} = 120 \text{ Вт}$. Мощность на каждом резисторе $P_1 = P_2 = P_3 = 40 \text{ Вт}$.

3. Смешанное соединение (два параллельно, один последовательно)

Схема, в которой два резистора ($R_2$ и $R_3$) соединены параллельно, а затем эта группа последовательно соединена с третьим резистором ($R_1$).

Сначала найдем сопротивление параллельного участка ($R_2$ и $R_3$):

$\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \text{ Ом}^{-1}$, откуда $R_{23} = 5 \text{ Ом}$.

Общее сопротивление цепи равно сумме сопротивления $R_1$ и участка $R_{23}$:

$R_{общ} = R_1 + R_{23} = 10 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом} = 15 \text{ Ом}$.

Суммарная мощность:

$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{(20 \text{ В})^2}{15 \text{ Ом}} = \frac{400}{15} \text{ Вт} = \frac{80}{3} \text{ Вт} \approx 26.67 \text{ Вт}$.

Общий ток в цепи, который протекает через $R_1$:

$I_1 = I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{20 \text{ В}}{15 \text{ Ом}} = \frac{4}{3} \text{ А}$.

Мощность на первом резисторе:

$P_1 = I_1^2 R_1 = (\frac{4}{3} \text{ А})^2 \cdot 10 \text{ Ом} = \frac{16}{9} \cdot 10 = \frac{160}{9} \text{ Вт} \approx 17.78 \text{ Вт}$.

Напряжение на параллельном участке:

$U_{23} = I_{общ} \cdot R_{23} = \frac{4}{3} \text{ А} \cdot 5 \text{ Ом} = \frac{20}{3} \text{ В}$.

Это напряжение приложено к $R_2$ и $R_3$. Мощность на них одинакова:

$P_2 = P_3 = \frac{U_{23}^2}{R} = \frac{(\frac{20}{3} \text{ В})^2}{10 \text{ Ом}} = \frac{\frac{400}{9}}{10} = \frac{40}{9} \text{ Вт} \approx 4.44 \text{ Вт}$.

Ответ: Суммарная мощность $P_{общ} \approx 26.67 \text{ Вт}$. Мощность на резисторах: $P_1 \approx 17.78 \text{ Вт}$, $P_2 = P_3 \approx 4.44 \text{ Вт}$.

4. Смешанное соединение (два последовательно, один параллельно)

Схема, в которой два резистора ($R_1$ и $R_2$) соединены последовательно, и эта группа подключена параллельно третьему резистору ($R_3$).

Сопротивление последовательного участка ($R_1$ и $R_2$):

$R_{12} = R_1 + R_2 = 10 \text{ Ом} + 10 \text{ Ом} = 20 \text{ Ом}$.

Общее сопротивление цепи (участок $R_{12}$ параллелен $R_3$):

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{1+2}{20} = \frac{3}{20} \text{ Ом}^{-1}$, откуда $R_{общ} = \frac{20}{3} \text{ Ом} \approx 6.67 \text{ Ом}$.

Суммарная мощность:

$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{(20 \text{ В})^2}{\frac{20}{3} \text{ Ом}} = 400 \cdot \frac{3}{20} = 60 \text{ Вт}$.

Напряжение на параллельных ветвях равно напряжению источника. Напряжение на $R_3$ равно $U_3 = U = 20 \text{ В}$.

Мощность на третьем резисторе:

$P_3 = \frac{U_3^2}{R_3} = \frac{(20 \text{ В})^2}{10 \text{ Ом}} = \frac{400}{10} = 40 \text{ Вт}$.

Напряжение на последовательном участке ($R_1$ и $R_2$) также равно $U_{12} = U = 20 \text{ В}$.

Ток через этот участок:

$I_{12} = \frac{U_{12}}{R_{12}} = \frac{20 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 1 \text{ А}$.

Этот ток протекает через $R_1$ и $R_2$. Мощность на них одинакова:

$P_1 = P_2 = I_{12}^2 R = (1 \text{ А})^2 \cdot 10 \text{ Ом} = 10 \text{ Вт}$.

Ответ: Суммарная мощность $P_{общ} = 60 \text{ Вт}$. Мощность на резисторах: $P_1 = P_2 = 10 \text{ Вт}$, $P_3 = 40 \text{ Вт}$.