Номер 16.31, страница 82 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 16. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 16.31, страница 82.

Условие.

16.31. Найдите силу тока в каждом из резисторов (рис. 60). К цепи приложено напряжение $U = 110 \text{ В}$, сопротивление каждого резистора $R = 200 \text{ Ом}$.

Рис. 60

Решение.

Дано:

$U = 110$ В

$R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = R_6 = R = 200$ Ом

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6$ - силы тока в каждом из резисторов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Обозначим узлы схемы, как показано на рисунке ниже:

- Узел A - точка соединения резисторов $R_1, R_2, R_3$.
- Узел B - точка соединения резисторов $R_3, R_5, R_6$.
- Узел C - точка соединения резисторов $R_2, R_4$.
- Узел D - точка соединения резисторов $R_4, R_6$.

Примем потенциал нижнего входного зажима равным нулю ($\phi_{вх-} = 0$), тогда потенциал верхнего зажима будет равен $\text{U}$ ($\phi_{вх+} = U = 110$ В). Обозначим потенциалы узлов A, B, C, D как $\phi_A, \phi_B, \phi_C, \phi_D$ соответственно.

Согласно первому правилу Кирхгофа, сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем уравнения для узлов A, B, C и D (полагая, что все токи вытекают из узла):

1. Для узла A: $\frac{\phi_A - U}{R_1} + \frac{\phi_A - \phi_C}{R_2} + \frac{\phi_A - \phi_B}{R_3} = 0$

2. Для узла B: $\frac{\phi_B - 0}{R_5} + \frac{\phi_B - \phi_A}{R_3} + \frac{\phi_B - \phi_D}{R_6} = 0$

3. Для узла C: $\frac{\phi_C - \phi_A}{R_2} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_4} = 0$

4. Для узла D: $\frac{\phi_D - \phi_C}{R_4} + \frac{\phi_D - \phi_B}{R_6} = 0$

Так как сопротивления всех резисторов равны ($R_1 = ... = R_6 = R$), мы можем сократить $\text{R}$ в каждом уравнении. Система уравнений принимает вид:

1. $(\phi_A - U) + (\phi_A - \phi_C) + (\phi_A - \phi_B) = 0 \implies 3\phi_A - \phi_B - \phi_C = U$

2. $\phi_B + (\phi_B - \phi_A) + (\phi_B - \phi_D) = 0 \implies -\phi_A + 3\phi_B - \phi_D = 0$

3. $(\phi_C - \phi_A) + (\phi_C - \phi_D) = 0 \implies -\phi_A + 2\phi_C - \phi_D = 0$

4. $(\phi_D - \phi_C) + (\phi_D - \phi_B) = 0 \implies -\phi_B - \phi_C + 2\phi_D = 0$

Данная схема симметрична относительно горизонтальной оси. Это позволяет упростить решение. Если приложить напряжение симметрично, то есть $\phi'_{вх+} = U/2$ и $\phi'_{вх-} = -U/2$ (разность потенциалов останется $\text{U}$), то для симметричных узлов A и B, а также C и D, будут выполняться соотношения: $\phi'_A = -\phi'_B$ и $\phi'_C = -\phi'_D$.

Запишем уравнение для узла A в новой системе потенциалов:

$3\phi'_A - \phi'_B - \phi'_C = U/2$

Подставим $\phi'_B = -\phi'_A$:

$3\phi'_A - (-\phi'_A) - \phi'_C = U/2 \implies 4\phi'_A - \phi'_C = U/2$

Запишем уравнение для узла C:

$-\phi'_A + 2\phi'_C - \phi'_D = 0$

Подставим $\phi'_D = -\phi'_C$:

$-\phi'_A + 2\phi'_C - (-\phi'_C) = 0 \implies -\phi'_A + 3\phi'_C = 0 \implies \phi'_A = 3\phi'_C$

Подставим $\phi'_A = 3\phi'_C$ в уравнение для узла A:

$4(3\phi'_C) - \phi'_C = U/2 \implies 11\phi'_C = U/2 \implies \phi'_C = \frac{U}{22}$

Тогда $\phi'_A = 3 \cdot \frac{U}{22} = \frac{3U}{22}$.

Теперь вернемся к исходной системе потенциалов, прибавив $U/2$ к найденным значениям:

$\phi_A = \phi'_A + \frac{U}{2} = \frac{3U}{22} + \frac{11U}{22} = \frac{14U}{22} = \frac{7U}{11}$

$\phi_B = \phi'_B + \frac{U}{2} = -\phi'_A + \frac{U}{2} = -\frac{3U}{22} + \frac{11U}{22} = \frac{8U}{22} = \frac{4U}{11}$

$\phi_C = \phi'_C + \frac{U}{2} = \frac{U}{22} + \frac{11U}{22} = \frac{12U}{22} = \frac{6U}{11}$

$\phi_D = \phi'_D + \frac{U}{2} = -\phi'_C + \frac{U}{2} = -\frac{U}{22} + \frac{11U}{22} = \frac{10U}{22} = \frac{5U}{11}$

Подставим числовые значения $U = 110$ В:

$\phi_A = \frac{7 \cdot 110}{11} = 70$ В

$\phi_B = \frac{4 \cdot 110}{11} = 40$ В

$\phi_C = \frac{6 \cdot 110}{11} = 60$ В

$\phi_D = \frac{5 \cdot 110}{11} = 50$ В

Теперь, зная потенциалы, можем найти токи через каждый резистор по закону Ома $I = \frac{\Delta\phi}{R}$. Положительным направлением тока будем считать направление слева направо и сверху вниз.

$I_1 = \frac{U - \phi_A}{R} = \frac{110 - 70}{200} = \frac{40}{200} = 0.2$ А

$I_2 = \frac{\phi_A - \phi_C}{R} = \frac{70 - 60}{200} = \frac{10}{200} = 0.05$ А

$I_3 = \frac{\phi_A - \phi_B}{R} = \frac{70 - 40}{200} = \frac{30}{200} = 0.15$ А

$I_4 = \frac{\phi_C - \phi_D}{R} = \frac{60 - 50}{200} = \frac{10}{200} = 0.05$ А

$I_5 = \frac{\phi_B - 0}{R} = \frac{40}{200} = 0.2$ А

$I_6 = \frac{\phi_B - \phi_D}{R} = \frac{40 - 50}{200} = \frac{-10}{200} = -0.05$ А

Знак "минус" для тока $I_6$ означает, что его реальное направление противоположно выбранному (от B к D) и ток течет от узла D к узлу B.

Ответ:

Сила тока в резисторе $R_1$: $I_1 = 0.2$ A.

Сила тока в резисторе $R_2$: $I_2 = 0.05$ A.

Сила тока в резисторе $R_3$: $I_3 = 0.15$ A.

Сила тока в резисторе $R_4$: $I_4 = 0.05$ A.

Сила тока в резисторе $R_5$: $I_5 = 0.2$ A.

Сила тока в резисторе $R_6$: $I_6 = 0.05$ A, ток направлен от точки соединения резисторов $R_4$ и $R_6$ к точке соединения резисторов $R_3, R_5, R_6$.